最近，我想我有一个朋友，我离吐槽的路越远，就越不学数学。 大错特错。 这是来大工作的。 针对2021年新高考全国一卷的数学问题进行了分析，初高中的家长和孩子应该都适合看。 高中更适合。 初中可以事先知道。 首先是考点分布细目表。

通过细目表，可以看出哪些知识是高考考察的重点，哪些是考察的难点，选择经常考察填空题的知识点，做题时重点考察哪些知识点。 具体来说，大家自己看吧。 然后是对每个问题的分析。 这里按照主题、答案、考察内容、难度、分析、知识拓展、感想(如果有的话)的顺序和大家说话。

考察内容：本题考查集合的交叉运算。 难度：很简单。 分析：集合是高考每年必考知识点，一般比较容易，在多个第一、二题的位置相爱相杀。 调查的焦点一是集合的并集、交集、补集运算，二是集合之间的关系。 这样的调查方式多年来稳定。 这个问题给出的两个集合，一个是直接的不等式，不需要计算。 一个是离散数的集合，降低了问题的难度，强调了交叉概念的考察。 这道题的难度与往年旧教材的全国卷II、III的文科集合题的难度相当。 知识的拓展：1.求解集合运算问题的三个步骤： (1)从看要素构成的要素、研究集合中要素的构成入手是解决集合运算问题的关键。 即，如{x|y=f(x ) }、{y|y=f(x(x ) ) }、{y|y=f ) }、{ ) ) x}那样，) 65 )关于集合化简，一部分集合被简并)3)应用数形结合进行交、并、补等运算。 常用的数形结合形式有轴、坐标系和温克( Venn )。 感想：这个环节主要是和初中家长聊天。 集合这个问题有点复杂是解不等式。 如果要在中学寻找与之相对应的内容，主要是不等式性质的把握。 解不等式，特别是二次不等式的能力。 虽然在中学没有学过二次不等式，但是会学二次函数。 早点知道三个二阶——二次函数、二次方程、二次不等式的关系不是坏事。

考察内容：本题考察共轭复数与复数的乘法。 难度：很简单。 分析：复数是高考每年必考的知识点，一般比较容易。 考察的焦点之一是复数的概念和复数的几何含义，如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何含义等，二是复数的加减乘除运算。 去年，新高考试卷讨论了多项除法，但调查内容单一。 今年结合共轭复数和多个运算进行了调查。 其背景是创新，为了降低难度，将除法改为乘法，由此可见获得新高考试卷依然很容易。 知识拓展：求解复数运算问题的一般类型及问题解决策略： (1)复数的乘法。 复数乘法类似于多项式的四则运算。 将含有虚数单位I的视为一类项目，不含I的视为另一类项目，分别合并即可。 )2)复数除法。 除法的关键是分子分母和分母相乘的共轭复数，解题时必须注意把I的乘方写成最简单的形式。 (3)复数的运算和复数概念的综合问题。 首先使用复数的算法进行降阶，一般化为a bi(a，bR )的形式，并结合相关的定义解答。 )4)复数的运算与复数几何意义的综合问题。 首先使用复数的算法进行退化，一般化为a bi(a，bR )的形式，结合复数的几何意义解答。 感想：复数的计算实际上涉及多项式的简单计算。 在高中的计算中，那样的直接计算很少，多综合应用于多项式计算这样的规则。

考察内容：本题考察圆锥及圆锥的侧面展开图。 难度：很简单。 分析：立体几何在高考中一般存在1~2个客观问题，常见的有多面体、回转体的体积、面积或两者的综合； 概念辨析、位置关系判定； 有一个的话，一般来说难度比较低，但有两个的话，一个是容易的问题，一个是难的问题，往往落在后面。 热点是指检查几何体中元素的位置和数量关系、几何体的表面积和体积、球体和几何体的切线等。 另外，通过单选题调查空间几何要素数量关系的问题，往往与数学文化和现实生活有关。 即使在解题时只用一个关系式，考查知识点单一、运算简单，也仍然属于发题。 知识的扩大(几何的展开和折叠)1)几何的表面积除了球以外一般使用展开图求出。 利用空间问题平面化的思想，将平面图形折叠成一个几何图形，研究其性质，是调查空间想象力的常用方法。 )2)多面体展开图棱柱的侧面展开图为矩形； 正角锥的侧面展开图由几个全等等腰三角形组成，底面为正多边形； 正角锥台的侧面展开图由几个全等腰梯形组成，底面为正多边形。 )3)回转体展开图圆柱的侧面展开图为矩形，矩形的长度(或宽度)为底面圆周长度，宽度)或长度为圆柱的母线长度。 圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径长为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长圆台侧面展开图为扇环，扇环上、下弧长分别为圆台上、下底面周长。

考察内容：本题考查三角函数的单调性。 难度：很简单。 分析：三角函数和解三角形在新高考全国卷中一般存在两题客观题、一题答题，答题一般考查解三角形，客观题考察的焦点是三角变换和三角函数的图像和性质。 本题以正弦型函数为载体，正弦型函数是高考中普遍出现的函数类型，一般正切少，正余弦多。 研究三角函数的单调性，问题简洁流畅，属于常规题型，侧重于重要基础知识的调查。 三角函数的单调性是三角函数的重要性质，也是高考的热点。 求正弦型函数单调性教科书存在许多相似问题。 这表明教科书是高考试题的生长点，复习时不要丢掉教科书。 知识的扩展：在求形状为y=Asin(x ) )这样的单调区间时，把“x ”看作一个整体，通过求解不等式来求解。 要研究y=asinx bcosx的单调性，首先用辅助方程以结构化形式研究y=Asin(x )； 要调查包含三角函数二次式的单调性，首先用二倍方式降低乘方，然后用辅助方式函数为y=Asin(2x ) b的形式。 感想：高中和初中数学的一个很大的区别是问题的复杂性越来越高，发问题的越来越少。 就像这个答案一样，前两个问题可以说是发送问题。 到这个问题为止，还很简单，但这个简单不是其他的简单。 它不仅使用了一个知识点，在计算量上也与传统意义上的简单问题不同，需要代入验证，用经过进一步计算就能得出答案的——整体思想，复合函数的单调性来求解不等式，求解单调区间。 但是，这个问题确实是个简单的问题。

考察内容：本题考察椭圆方程、几何性质及基本不等式的应用。 难度：很简单。 分析：本题结合椭圆方程、椭圆几何性质和基本不等式来考察，虽然是知识交汇处的命题，但涉及基础知识，且运算简单，是个容易的问题。 注意与椭圆的焦点弦长或焦点半径相关的计算问题和与焦点相关的距离的最大值问题，多使用椭圆的定义进行求解。 知识的拓展：椭圆的定义有双向作用。 即，|MF1|||MF2|=2a(2a|F1F2|)时，点m的轨迹为椭圆。 相反，从椭圆上的任意一点m到两焦点的距离之和必须为2a。 当涉及到曲线上点到焦点的距离问题时，首先应该考虑能否用椭圆的定义来求解。 要解决有关椭圆的最大值问题，特别是求距离之和的最大值，可以用椭圆定义转换为距离之差的最大值，用三点共线确定差的最大值。 感想：高考试题的另一个特点是综合性强。 像正题这样结合圆锥曲线和基本不等式的形式很多，在这里，想法尤为重要。 第一种思路是用定义域基本不等式结合起来，第二种思路是构造函数的常用思路，计算是次要的，只是辅助作用。

考察内容：本题考察保角三角函数关系式、倍角式在评价中的应用。 难度：中等难度。 分析：解三角函数和三角形在新高考全国卷中一般有两个客观问题，一个答题。 答题一般考察解三角形，客观题考察三角变换和三角函数的图像和性质，难度一般容易或中等。 本问题主要考察使用等角三角函数的基本关系式和倍方式进行评价。 通常的求解思路是，将给定的公式变换为关于sin，cos的齐次分数，再变换为关于tan的一次分数代入求出。 本题的解法虽然简单，但运算量大一点，还有一定的技巧，难度比前面的问题有所增加。 知识展开：关于sin ，cos 的齐次式，可以用该分式中的cos 的最高次幂将分子、分母变换为关于tan 的式子后求出。 注意为了使分子分母相一致，需要灵活地进行“1”的置换，用1=sin2 cos2置换后，构建关于tan 的代数式。

考察内容：考察正题导数几何意义的应用。 难度：中等。 分析：导数的几何意义是高考高频考点，调查的焦点主要是求曲线在某点的切线，即确定满足求两条曲线公共切线条件的曲线条数。 本问题主要研究利用导数的几何含义确定的切线，注意等价变换思想的应用。 切线有两个切点，有两个——，关于t的方程有两个不同的实根，——直线和函数图像有两个交点。 知识展开：求曲线的切线条数，一般需要设置切点，从已知的条件出发整理关于t的方程式，将切线条数问题转化为关于t的方程式的实根数问题。 感想：这才是第七题。 在旧的高考试卷上，这个位置的问题不是那么难。 但是在新的高考中，这已经是单选题的最后两题了。 就像这个问题一样，一定有比较难的问题。 这其实是对以前文科学生的挑战，增加了选择题的得分难度。 在答案中，有难以到达天空的计算吗？ 有时候在思想的指导下，综合运用工具——的公式、方法、图片来解决问题，这种情况下对学生的要求很高。 这道题其实是两个主题的综合，两部分之间转换的联系非常考察学生的思维能力。

考察内容：本题考察采用概率判断相互独立的事件。 难度：中等。 分析：本题涉及相互独立的事件判断，学生们习惯根据相互独立的事件概率计算公式，求出相互独立的事件概率。 正题反过来利用概率计算的结果来判断事件是否相互独立。 因为是在高考全国卷选题中第一次考察这样的问题，所以这道题的背景很新颖，但从思路上来看，不难想象，与第七道题相比，这道题的难度要比第七道题低一些。 知识的扩展： (1)“独立”与“互斥”的区别两个事件的互斥是指两个事件不能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件是否发生，另一个事件是否发生两个事件相互独立通常不是互斥的，两个事件的互斥通常不是独立的。 如果事件a、b是排他性的，则为p(ab )=p ) a ) p ) b )，如果事件a、b不是排他性的，则为p ) ab )=p ) a ) p ) b )，如果事件a、b相互独立，则为p ) a ) 接着判断事件是A B还是A B事件，确定事件是至少发生一个还是同时发生，分别使用加法或乘法事件式，最后求出相应的古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立反复实验

考察内容：本题考查样本的数字特征。 难度：中等难度。 分析：概率和统计是高考的重点，高考试题既有客观题，也有答题，由于该模块知识点多，高考命题没有固定的热点。 一般涉及统计和概率、随机变量的分布序列，客观问题至少有两个。 本题涉及中位数、均值、标准差、极差等样本数字特征，题型为常规题型，考生经过复习训练，绝大多数考生都能得分。 知识的拓展(1)关于均值、方差的若干结论； )最频值、中值、平均值与频率分布表、频率分布直方图的关系：最频值(最频值一般用频率分布表中频率最高的组的中值表示。 也就是说，在样本数据的频率分布直方图中，最高的矩形底边中点的横坐标。 中值：在频率分布直方图中，中值左边和右边的直方图面积应该相等。 平均数)平均数等于频率分布表中组中位数与对应频率乘积之和。

考察内容：本题考察平面矢量的数量积和坐标运算、三角变换。 难度：中等。 分析：平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考察。 热点是平面矢量的线性运算和平面矢量的数量积，可以是简单的问题也可以是中等难度的问题。 中等难度的问题多是平面几何、不等式等知识交叉考察。 本题涉及平面矢量的数量积和坐标运算，也涉及三角变换，知识交汇处的命题，背景比较新颖，能有效考查考生分析问题和解决问题的能力，是一个难度适中的问题。 知识展开：求平面向量数量积解题策略求两向量夹角。 两矢量垂直的应用：两非零矢量垂直的充要条件是aBab=0| a-b|=|ab |。 求向量模：利用数积求解长度问题的处理方法基本上是利用向量的平方等于模的平方。 感想：高中数学有大量的公式。 特别是三角函数、向量、分析几何，公式非常多，而且非常相似的东西也不少。 如何记忆，如何使用，对学生来说是个头疼的问题。 关键还是在理解的基础上记忆，在理解的基础上使用，使用记忆。 这是和中学数学不太一样的地方。

考察内容：本题考察圆的方程式和直线与圆的位置关系。 难度：中等。 分析：圆方程和直线与圆的位置关系一直是高考的热点，通常被作为客观问题调查，长度、面积计算、参数问题和最大值问题是调查的热点。 本问题所涉及的有关日元的最大值问题是高考的热点问题。 由于圆与平面几何联系、圆锥曲线联系，命题方式比较灵活，与圆相关的最高值问题受到命题者的青睐。 在运动变化中，从动点到直线、圆的距离发生变化，从圆上点到动直线的距离也发生变化。 在变化过程中，会出现距离、角最小、最大等最大值问题。 这些问题常常涉及平面几何知识，通过利用数形结合思想可以得到直接相关的结论。 知识的拓展： (1)关于圆的长度或距离的最大值问题的解法。 一般根据长度和距离的几何含义，利用圆的几何性质进行数形结合求解。 请注意，圆的弦长或线长通常使用梯度定理转换为圆心到直线或圆心的距离。 )关于圆的面积的最大值问题和关于圆中的数量积的最大值问题，一般被变换为求出关于圆的半径的函数关系和几何图形的关系，可以通过使用函数求出最大值的方法，例如配置方法、基本不等式法等来求解，根据情况变换思想感想：我觉得解析几何是对初中数学起着最大作用的高中数学知识，其实可以解决中考数学的很多问题。

考察内容：本题考察空间矢量的应用、几何中面积与体积的计算以及线面位置关系的判断与应用。 难度：中等难度。 分析：对几何中线面位置关系的综合考察常作为难题出现，求角度问题、截面位置不固定几何体积、最大值问题，都是热点问题。 选题中的立体几何问题，多是交叉考查多个知识点。 例如，结合几何长度、角度、面积、体积的计算和线面的位置关系进行调查，也可以结合函数、不等式及空间矢量进行调查。 这类问题对空间想象力的要求很高，难度也很大。 知识拓展：计算回转体的侧面面积，一般采用变换的方法进行。 也就是说，将侧面展开为平面图形，求出“弯曲”几个不规则几何的体积时，一般的分割法是变换为已知体积式的几何来解决。 另外，求三角锥的体积或高度，常常采用等积法进行转化。 “补形法”是立体几何中常见的重要方法之一，在解题时，用“补形”将几何补充成完整的几何，或放在更贴近的几何中，巧妙地求解空间几何的体积等问题。 感想：这是几何学的问题。 看答案就知道了吗？ 高中数学代数化非常明显，无论是分析几何还是立体几何都用代数方法解决了几何问题。

考察内容：本题考查函数的奇偶性。 难度：很简单。 分析：函数的奇偶性是一个像单独命题一样简单的问题，对此类问题的考察焦点是判断函数的奇偶性； 给出一个区间上奇函数的解析表达式，求出函数值或函数在另一区间上的解析表达式； 从函数的奇偶性求参数取值等，与函数的其他性质综合考察，通常是中问题。 知识的拓展(1)函数奇偶性的一般结论当函数f(x )是偶函数时，f ) x )=f(|x|)。 奇函数在两个对称区间具有相同单调性的偶函数在两个对称区间具有相反的单调性。 公共定义域内有：奇奇=奇、偶偶=偶、奇奇=偶、偶偶=偶、奇偶=奇。 (x )为偶函数f ) x )=f )|x|。 如果奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0。 )2)常见的奇函数和偶函数。

考察内容：本题考察抛物线的方程和几何性质。 难度：中等难度。 分析：客观问题中的抛物线一般调查抛物线的几何性质和运算能力，可能与向量和不等式等知识相交。 主题之一是将垂直问题转换为斜率的乘积为-1，最常用的解法之一是将垂直问题转换为数量乘积零，这种转换思路常用于分析几何学，可以避免对是否存在斜率的讨论知识的扩大：

以弦AB为直径的圆与准线相切。 路径：过焦垂直于对称轴的弦长2p，路径是过焦最短的弦。 )解决抛物线性质问题时，应注意利用几何图形的图像、直观特征来解题。 特别是关于焦点、顶点和准线的问题更是如此。

考察内容：本题考察导数在研究函数性质中的应用。 难度：中等。 分析：该问题的一种思路是先将含有绝对值的函数转换为分段函数，利用导数确定每个单调区间的单调性，然后根据单调性确定最高值，这是一种常规的解法； 另一种想法是利用进行缩进。 请注意，在问题中连续缩进两次。 请确保等号同时成立。 知识的扩大(1)求出函数f ) x )在[a，b]上的最大值和最小值的步骤)求出函数在( a，b )内的极值； 求区间端点处的函数值f(a )，f ) b )将函数f(x )的极值与f ) a )，f ) b )进行比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。 )2)包含分段函数和参数的函数的最大值一般不是按比例求出的，而是首先研究函数的单调性，根据单调性求出最大值。 包含参数的函数区间上的最大值通常有两种。 一个是决定极值点的区间，另一个是决定极值点的区间。 这两类问题一般根据区间和极值点的位置关系来分类讨论。

考察内容：本题以剪纸艺术为背景考察数列进行求和。 难度：中等。 分析：本题以中国传统文化剪纸艺术为背景，让考生体验探究数学问题的过程。 这个问题有几个创新点。 一是背景新颖，能有效考查考生运用数学知识分析问题的能力；二是高考第一次在客观题中查错位并减法求和；三是设置两个空当。 这是自2019年全国卷首次设置双空问题以来，时隔两年再次设置双空问题。 知识的扩展)相移减法的注意事项(1)善于识别主题的类型。 特别是等比数列为公比负时。 )2)写“Sn”和“qSn”的表达式时，接下来为了正确地写“Sn-qSn”的表达式，要特别注意将表达式“与错误的项对齐”。 )3)应用错位减法求和时，等比数列公比参数时，分公比为1和1以外的情况求解。

考察内容：本题考察等差数列的通项和合计。 难度：中等难度。 分析：这是近年来全国卷首次在答题中将阶段数列作为载体命题，虽然调查了基础知识，但在计算时容易出现错误，如将n理解为偶数等情况。 知识拓展：分组变换法求和的一般类型：

感想)新高考试题的一个很大的变化是取消了试题——极坐标和参数方程、不等式的选择，同时了解了数列、三角函数和三角形的求解。 这实际上占了提高数列的地位。

考察内容：本题以实际问题为背景，考察随机变量的分布列和预期应用。 难度：中等难度。 分析：以“一带一路”知识竞赛为背景，考查考生对概率统计基本知识的理解和应用，建立模型后再求解相当于教科书习题的难度，所以本题的重点是考查数学建模能力。 知识拓展：随机变量的均值反映随机变量取值的均值水平，方差反映随机变量稳定均值的程度，它们是从整体和全局刻画随机变量，用于生产生活中方案取舍的重要理论依据。 首先比较平均值，如果平均值相同，则通过方差决定。

考察内容：本题考察正弦定理和余弦定理的应用。 难度：中等。 分析：综合考察正弦定理和余弦定理，这是一个求解中矩三角形的题目，难度不是很大，需要注意对许多情况的讨论。 知识的拓展：求解三角形时，如果公式中包含角的馀弦或边的二次式，考虑使用馀弦定理； 公式中包含角的正弦或边的一次式时，考虑使用正弦定理； 如果这些特征不明显，请认为这两个定理都有可能使用。

考察内容：本题考察线面位置关系的证明、二面角及几何体积的计算。 难度：中等。 分析：本体考察了线面位置关系的证明。 第二题采用空间向量解决问题，重点是建立坐标系，计算量大，比较繁琐，但具有步骤明确，可以将几何问题转化为计算问题的优点。 知识的拓展：当两个平面垂直时，常用的辅助线是在一个面内作交线垂线，将面垂直变换为线面垂直，再证明线垂直(必要时可用平面几何知识证明垂直关系)，构造二面角的平面角，或得到点到面的距离等

考察内容：本题考察双曲线的定义和直线与圆锥曲线的位置关系。 难度：很难。 分析：这类压轴问题性质的圆锥曲线问题，综合考察了学生的多种能力，重点考察了学生的参与、结构、计算能力，本身值问题属于圆锥曲线的常规题型，考察了定义、直线与圆锥曲线位置关系的知识、技术。 知识的拓展：求解定值问题的方法一般有两种。 (1)从特殊入手，求定点、定值、定线，证明定点、定值、定线与变量无关； )直接计算、推理，在计算、推理过程中消去变量，得到定点、定值、定线。 困难的代数运算是这类问题的特点，应该注意方法、整体思想、不求消元思想的运用可以有效地简化运算。

考察内容：本问题利用导数考察函数的单调性及导数在证明不等式中的应用。 难度：很难。 分析：够了，不分析了。 知识的拓展：用导数证明不等式问题一般需要构造函数并利用函数的单调性进行证明。 基本方法如下

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