作者|蔡天新

来源|犀牛老师( ID: mrscience100 ) )。

真理是什么？ 我不能坐着等答案。

——弗朗西斯培根

道古新桥

杭州市内，离西湖北岸的宝石山不远，有一条叫西溪路的小路。 西溪路东段与杭大路交口西侧(位于浙江大学西溪校区和玉泉校区之间，靠近西溪校区)，有一座石桥，名为道古桥。 始建于南宋嘉熙年间( 1237-1241 )，初名西溪桥。 南宋淳初年《临安志》记载：“《西溪桥》，本府考院东，宋代嘉熙年间道古建”。 建造这座桥的道古不是别人，是南宋大多数学者秦九韶，道古是他的字。

道古桥在杭州的位置图(梁津铭绘) )。

秦韶( 1202-1261 )祖籍河南范县，该县地处鲁豫境内，县城数百年来一直设在山东莘县境内，故他自称山东鲁郡人。 秦韶关出生在四川省普州(今成渝之间)安岳，并在那里长大。 父亲中进士，家乡人传秦家三代进士，曾任巴州(今川东北巴中)地方长官。 1219年，巴州发生一起兵变，离开家乡，调往首都临安(杭州)，全家住在西溪河畔。 原来，1201年，临安发生了一场有名的大火，烧了三天三夜，烧了太庙、三省、六部、御史台等，受灾居民达三万五千多人，有的朝廷命官和家属搬到当时属于郊区的西溪河畔，秦家来到临安后

九韶从小聪明好学，父亲来临安后就任工部郎中，后任秘书由少鉴担任图书。 因为下面的机关设有太史局，所以他有机会博览群书，学习天文历、土木工程和数学、诗词等。 1225年，秦父又被任命为潼川(今四川三台)知府，此地临近藏族，成为边陲重地。 秦父决定把家人安置在离临安不远的湖州。 只带着心仪的小儿子九韶去赴任了。 因为九韶曾任漳县(今三县郧江乡)县尉，所以也有以九韶为义兵主谋的说法，他有率军作战的才能。

宋理宗赵昀见到秦九韶，心疼奸臣嘉似道的贵妃姐姐。

1232年，秦九韶也考上中进士，先后在四川、湖北、安徽、江苏、江西、广东等地为官。 1236年，元兵攻打四川，嘉陵江流域战乱频仍，在家乡当官的九韶不得不经常参加军事活动。 在《数书九章》序言中，九韶也谈到了这种生活。 1238年，秦九韶回到临安丁父忧(后移居湖州，继续为父服丧)，见河上无桥，两岸人员往来不便，自行设计，通过朋友在府库银两的帮助下，在西溪河上建桥。

大桥建成后，原无名称，因桥建在西溪河上，故俗称“西溪桥”。 元代初年，另一位数学家、周游四方的北方人朱世杰( 1249-1314 )来到杭州，提议将“西溪桥”改名为“道古桥”，以纪念造桥人、他所尊崇的前辈数学家秦九韶，并亲自把桥名书钉在桥头。

网友提供的原道古桥(疑似) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。

道古桥一直存在到新千年的交汇处(笔者在附近住了19年，历史上不知道有没有重建)。 由于西溪路的扩建改造，原桥和溪流夷(被填埋夷为平地)曾经的道古桥居委会也消失了)。 此外，还建设了国际商务中心、浙江省国土资源厅、黄龙世纪雅苑等高楼，只剩下一座公交站名道古桥) 652

2005年，道古桥附近天目山路(杭州东西干道)南侧的西溪支流沿山河修建人行横道(杭大路马登桥与黄龙路沿山河桥之间，距离道古桥原址约100米左右，比原来更长更宽)。 我多次实地考察，发现这座桥跨河而建，两岸垂柳，风景优美，而且闹中取静，关键还没命名，就把我忽而异想天开。

道古新桥作者摄于杭州

数学的梗概

1244年秦九韶任建康府(南京)通判期间，因丧母离任，回浙江湖州守孝三年。 此次守孝期间，秦九韶潜心研究数学，完成了20多万字的巨著《数书九章》(1247年9月)。 除了有关名声大地震和天文历的丰富知识和成果外，他还被皇帝(宋理宗赵昀)召见过。 他在皇帝面前阐述了自己的见解，呈现了奏稿和“数术大概”或“数学大概”，即《数书九章》。 可以说秦九韶是第一位被皇帝接见的中国数学家。 多年后，河北数学家李冶也曾被忽必烈召见。

《数书九章》丝版封面(吴文俊作序) )。

《数书九章》分为9类18卷，应该说各有9个问题全面超越了经典名著《九章算术》。 其中，最重要的成果无疑要数第一卷大衍系的《大衍总数术》和第九卷《市易类》的《正负开方术》。 “开方正负术”或“秦九韶算法”给出了一般n阶代数方程正根的解法，系数为正负。 求解这样的方程式需要反复运算，需要这样反复求出多项式的值，但每次的评价本来需要n(n1 )/2次的乘法运算和n次的加法运算。 秦韶关将其转化为n个一次方程的解，只需要n次乘法和n次加法就可以了。 他给出了最高10次的21个方程式的例子。 直到19世纪初，该算法才被英国数学家霍纳发现，据说霍纳算法在计算机时代的今天对秦九韶算法仍有重要意义。

“大衍总数术”给出了孙子定理的一般表达。 在公元四、五世纪左右写的《孙子算经》中，存在着所谓的“不知物”的问题。 也就是说，“现在有的东西不知道它的数量。 三、三之数剩下二、五、五之数剩下三、七、七之数剩下二、问东西的几何学吗？“答二十三”。 也就是说，孙子只是举了一个特别的例子。 在江苏淮安的民间传说中，这个故事可以追溯到公元前二三世纪西汉名将韩信点兵的故事。

秦王朝末年，楚汉相争。 有一次，韩信率军与楚军交战。 苦战，汉军死伤数百人，整顿兵马返回大本营。 走到山坡上，突然有楚骑兵报告追来。 看到远处尘土飞扬，杀声震天。 这时，汉军十分疲惫，汉信把三名士兵排成一行，结果多了两个人。 接着把5人排成一列，结果增加了3人； 再排7名士兵，再增加2名。 韩信立即宣布，我军勇士1073人，敌人不足500人。 果然，士气大振，一举打败楚军。

用现代数学语言描述“大衍总数术”时，假设具有k个两个元素的大于1的正整数，其乘积为m，则对于任意k个整数，存在唯一不超过m的正整数x，x除以每个相的馀数依次为： 秦韶并给出了求解的过程，为此他发明了“辗转相除”(欧几里得算法)和“求一术”。 后者是指，假设a和m互为素的正整数，m大于1，则可以求出唯一不超过m的正整数x，使a和x的乘积除以m后的余数为1。

遗憾的是，由于古代中国没有质数的概念，而且当时的用途并不是理论上的，而是用来解决历法、工程、徭役、军旅等实际问题，秦九韶并没有严格证明他发现的定理。 但是，对于求解型定理来说，这并不太重要。 实际上，他还给出了允许模不二两互素，并提供可靠的计算程序使其成为两两互素的情况。 值得一提的是，大衍求一术和欧拉定理是20世纪密码学中著名的“RSA公钥体系”中的两个重要元素。

此外，秦九韶还出了“三斜求积术”。 这是著名的海伦公式(已知三角形三边长求面积)的等价形式。 第二章天气类，秦九韶给出了历法推算和雨雪量计算。 南京北极阁气象博物馆有古代著名气象学家的雕像，其中就有秦九韶。 雕像的石碑上写着，用“平地获得的雨的数量”，也就是单位面积的雨)来测量雨水，为世界上最早的雨量和雪量的测量奠定了科学的理论依据。

在欧洲很有名

1801年，数学王子高斯的名作《算术研究》 (第2篇第7节)中也出现了这样的“大衍求一术”。 一直以来瑞士数学家欧拉都在深入研究，他们不知道中国数学家已经有了这个结果。 直到1852年，秦九韶的结果和方法由英国传教士伟烈亚力(与清代数学家李善兰合作翻译欧几里得《几何原本》 )翻译到欧洲。 他的论文《中国科学史札记》在欧洲学术界引起广泛关注，从英语迅速翻译成德语和法语，这篇文章还介绍了秦九韶算法。 至于是什么时候谁命名了中国剩下的定理，还是个未解之谜，但应该不会晚于1929年。

据说画了《数书九章》插图，湖州飞英塔。

严格说来，孙子定理应该叫秦九韶定理，我在拙作《数之书》 (及近作《经典数论的现代导引》 )中，英文版也确实这样做了。 之所以被命名为孙子定理，应该和后面提到的秦九韶的道德难题有关。 据笔者老师潘承洞教授介绍，他分析说，西方人之所以称之为中国剩余定理，是因为古代中国数学家重视计算，没有理论建树，因而受到轻视。 总之，她是中国人发现的最具全球影响力的定理，是中外任何一本基础数论教科书中不可缺少的，同时也延伸到另一个数学分支——抽象代数中。 它还广泛应用于密码学、数值分析中的多项式插值计算、哥德尔不完备性定理的证明、模型方程可解性的判断(否定希尔伯特第10问题)、快速傅里叶变换理论等诸多领域。

德国著名数学史家莫里茨坎托尔称赞秦九韶是“最幸运的天才”，这是因为当时西方还没有给这个命题命名。 迄今为止，法国大多数学者拉格朗日也这样称赞牛顿。 拉格朗日认为，只有一次发现万有引力定律。 被誉为“科学史之父”的美国科学史家乔治萨顿认为秦九韶是“他的民族、他的时代，而且无疑是所有时代最伟大的数学家之一”。 2005年，牛津大学出版社出版了《数学史，从美索不达米亚到现代》。 在这本书重点介绍的12位数学家中，秦九韶是唯一的中国人。

据说剑桥的数学桥是牛顿设计的。 作者摄

秦韶造桥的故事，堪比英国数学家牛顿造桥的故事。 在剑桥大学皇后学院内，据说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿，因此流经剑河的桥被称为数学桥。 据说牛顿建桥时一根钉子都没用，后来好事者轻轻地移开桥，发现真的是这样。 但是已经装不上了，只能在原来的地方重新造桥。 如今，数学桥已经成为名胜，可以说是剑桥旅客必游之地。

相比之下，道古桥的故事更古老(不仅比牛顿早四个世纪)，而且与两位古代大学者有关)。遗憾的是，当时宣传得非常少，杭州许多数学家也不知道，道古就是秦九韶)。 如果能被命名并酌情在桥头设立石碑，将为杭州这座历史文化名城增添难得的科学人文景观。 (这个建议后来被杭州市政府采用，我请数学家王元老师写了桥的名字。)。

道德上很难

需要注意的是，由于秦九韶的学术成就不被同龄人所认识，加上一些谣言和描写，说其贪污浪费，生活无度，甚至有人命，不能挽回人命，他晚年宋史和地方志都不是秦九韶列传，都是在他的名字和桥的名字隐藏的时候出现的，后人也下落不明。 不仅中文数论教科书里没有提到他的名字，中国校园里也张贴和雕刻着祖先的冲像，英国广播公司最近制作播出的四集纪录片《数学的故事》称赞他的学术成就，秦国是唯一一个这样说的人

经过多方求证求教，笔者发现有关秦九韶的传闻主要有两个来源，内容大同小异。 前面是比秦九韶年长十五岁的闽语词刘克庄《后村老师大全集》的《缴秦九韶知临江军奏状》(1260 )，比秦九韶小三十岁的湖州文人周密《癸辛杂识续集》的《秦九韶》 )这两页，癸烷是杭州街名，宋亡

广东梅州，秦九韶的谢世地。 作者摄

嘉庆之年，文理兼容的扬州学派知名学者心急如焚，浙江巡抚、经学家、教育家阮元，以及晚清湖州学者、藏书家陆心源等人纷纷提出缜密批评，造谣诽谤，秦九韶列传之事开始有人出现。 而刘克庄生前就侍奉贾似道，被人认为是媚言生产，连章子怡都累了，被人耻笑。 1842年，《四库全书》由历法名家宋景昌校订后首次印刷出版，结束了近600年的传承史。 以前，其手稿被收入明代的《数书九章》和《永乐大典》。 在传播过程中，曾被称为《四库全书》，在明末戏剧家王应选中被命名为《数学九章》。 从这个意义上说，《数书九章》可以与荷马史诗相媲美。

应该指出的是，吴潜和贾似道是宋理宗时一忠一奸的宰相，秦九韶和刘克庄分别与两人关系甚密。 吴潜出身状元，以正直无私、忧国忧民、忠义爱国闻名，还是一代词人、水利专家和抗倭英雄； 贾似道尽恶，是皇帝宠爱的贵妃同父异母的弟弟，人称蟋蟀宰相。 1261年秦九韶去世那年，年近七十的吴潜因贾似道罗织之罪再次被罢免宰相，流放循州(今广东龙川)。 秦九韶的谢世地梅州)今梅县)不同，第二年死于急症)。

吴潜是安徽宁国人(一说湖州德清人)，那里毗邻湖州。 秦九韶是在巴州工作时认识的，在湖州丁忧母亲。 也许，秦九韶在吴潜捐赠的根基上盖的房子有点奢侈，引起了当地文人的周密嫉妒。 尤其是密是湖州本地人，秦九韶是异乡人。 除了擅长作词外，还喜欢史学、画帖、医学，甚至算学。 他的《数书九章》也是一本杂书，有趣的是，里面竟然有韩信点兵的描写，他被称为“鬼谷算”或“隔墙算”。

秦韶纪念馆，四川安岳。 作者摄

另一方面，秦九韶的骈俣诗也很有造诣，受着名词人李刘的指使，也不排除文人轻浮的可能。 秦韶关的处境无疑是政治斗争的受害者，他生命的最后六年是在梅州度过的。 事实上，金人和蒙古军队南下时，吴潜和贾似道属于主战派和主和派。 笔者专程去梅州，看到周围群山环抱，市内主要街道上种着榕树。 这让我想起了造纸技术的发明者蔡伦。 他和秦九韶在科学和技术上的成就无人能与中国古代相媲美。 蔡伦因发明造纸术而被封杀，晚年因疼爱他的皇太后去世后遭政敌侮辱而羞愧，洗澡后穿戴整齐，服毒身亡。

有趣的是，后来有名的先生制作过《志雅堂杂钞》。 “去年秋天，今年秋天，湖上的人们乐此不疲，西湖依然流淌。 吴循环州、贾循环州，十五年前调头，人生放停职。 ”也就是说，15年后，贾似道也在当时被贬到吴潜去世的地方，途中被有正义感的监狱官杀害。 至清代，考吴潜后裔吴鲁或中状元、光宗耀祖，吴氏家族多居福建，其中泉州涂门街吴氏大宗祠又称东观西台。 关于秦九韶关的最后岁月、墓葬地及其后裔，笔者在梅州努力走访，尚不知晓。 如果真如刘周文章所说，他早就该被斩首入狱了，为什么只是降级却“政治不中断”？

顺便说一下，《长相思》中有用于计算图像宝塔尖高度的有名的插图，可以通过调整观察角度和利用正切函数求出。 这座宝塔和湖州市内唐代古寺飞英寺的飞英塔形状相似。 该塔内为石塔外为砖木塔，因塔中有塔而独具特色，隶属全国重点文物保护单位。 内塔和外塔建于唐代和北宋之间，12世纪前后拆除，现在的塔重建于13世纪30年代，就在秦九韶住在湖州之前。

05

世界本原车站

最后，我想谈谈秦九韶为《数书九章》这部唯一著作作的序诗(每卷一首)和序言。 第一卷是大衍类，即最有价值的一阶同余式求解理论。 他在这首卷序诗中写道：“巍峨，气势磅礴； 世界的根本在于数学。 ”第二卷是关于天文历的，序诗是“七大行星，苍天回旋； 世界上所有的事情都是富于变化的。 ”第三卷是关于土地面积的测量，序诗的开头是“百姓虽小，但应该放在第一位； 审查形势看世界。 ”

接下来的几卷涉及计算、运输税收、谷物容积、建筑工程、军需供应、交易利息等。 徭役之卷中写道：“为官者施仁政，为民着想，置身事外，犹如自饥受灾。 租税、赋税、徭役分配不均，岂不令人安心？”因此，这部书不仅涉及数学，还涉及自然现象和社会生活，可以说是后世了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。

秦韶纪念馆，四川安岳。 作者摄

《钱谷》一卷，序诗更是切中时弊，顺理成章。 “收粮要看等级，入库粮食要看季节。 一粒谷子、一寸丝线，都是男女劳动得来的。 ”“达官贵人互相牵连，欺负百姓，大小贪官，心机一转。 ”“治理财政，必须像智者治理水一样。 正本清源，无乱，易治，消除隐患。 ”“那些昏官视而不见，人民悲惨，酷刑不断。 理智越来越远，成了官吏的不仁！ 真可叹！ ”

序言开头秦九韶说，周朝数学属于“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之一。 学者和官员们历来重视和尊崇数学。 人们为了了解世界规律而创造了数学。 从大的方面来说，数学可以认识自然，理解人生； 从小以来，人们就说数学能经营事务，分类万物。 秦韶相信，世界上所有的事物都与数学有关。 这与古希腊毕达哥拉斯学派不谋而合。

蔡天新在南京北极阁气象博物馆秦九韶雕像旁

这正是数学吸引秦九韶的地方，他向学者、能人求教，深入探索数学的精微。 “我青少年时代和父亲一起去过东京都临安，有机会拜访了国家天文台的历算家，向他们学习历算。 另外，我在向隐君子学习数学。 ”这里的隐君子，不是吸毒者，而是隐居逃避世俗的人。 当时，元军入侵四川，九韶有时要在战乱中长途跋涉，但他还不忘研究数学。

与此同时，秦九韶哀叹数学家的地位和作用现在没有被认识。 这里他主要指的是纯粹的数学和暂时不能用的方法技术。 他认为，数学这门学问之所以受人鄙视，计算学家只把它当作工具，就像制作乐器的人只会发出乐器的声音一样。 “本来想把数学提高到哲理的高度，但是很难。 ”由此可以推测，这是一个有思想和品味的人，与传言中的秦九韶实难相符。 时光流逝七个多世纪了，秦九韶的道德污点也成为古代中国科学史上最大的疑案。

2012年5月，杭州

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作者简介

蔡天新

浙江大学数学学院教授、博士生导师，求是特聘学者，近作《数书九章》增补版，《小回忆》、《26城记》 (中、英文版)，《数学与艺术》 )即出

蔡天新教授近作

《经典数论的现代导引》

作者：蔡天新

出版社：科学出版社

出版时间：2021.5

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个人资料

这本书适合作为高等学校本科学生、研究生基础数论课程教材或参考书使用。 它也适用于专业数论学家和业余数学爱好者。

目录

上滑陂览

序：数可以被我们心灵的产物——第一章整除的算法1.1自然数的由来——完美数和亲近数1.2自然数的深层镶嵌几何和欧拉指示性数1.3整除的算法梅森素数和费马素数1.4最大公约数格雷厄姆猜想1.5算术基本定理希尔伯特第八章同馀的概念2 高斯的《完美数与契波那契序列》 2.2剩余系和剩余系的函数[x] 3x 1问题2.3费马欧拉定理欧拉数和欧拉素数2.4表分数在循环小数梅尔比乌斯函数2.5密码学中的应用广义欧拉函数第章同余式理论3.1秦九韶理论斐波那契的兔子3.2威尔逊定理高斯的《地铁之诗》 3.1号图方程毕达哥拉斯序列覆盖同余系3.3的素数真伪素数或合数链第章平方剩余4.1二阶同余式高斯环上整数4.2勒让德符号表整数为平方和4.3二阶互逆律n边形数与费马4.4雅可比符号哈达玛矩阵和猜想4.5几模同余正十七边形作图法第五章n阶剩余5.1指数的定义埃及分数5 在阿尔廷猜想5.3 n次剩余佩尔方程5.4合数模式的情况下， 排号序列5.5狄利克雷特征的三类特殊指数和第六章整数幂模同余6.1伯努利数和多项式库默同余式6.2霍士塔霍姆定理椭圆曲线6.3拉赫曼同余式abc猜想6.4莫莉定理和雅可布斯坦定理自存形式和模形式6.5一类调和同余式多项式系数非幂第七章加法乘数7.1新华林问题7.2新费马定理7.3欧拉猜想7.4 F完美数问题7.5新同馀数问题7.6 abcd方程参考文献附录10000内素数表

本书的特色

请知道数论的前端。 主要内容是基础性的，但几乎每一小节都夹杂着前沿问题以扩大你对数论的理解。 前五章的内容很经典，但很多地方都用现代的眼光来拓展它，丰富了你的数论知识：