说到函数，和大家的数学成绩无关，我或多或少都知道。 可以说函数这个知识的内容贯穿于整个数学。 特别是进入中学后，学习一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数等。 进入高中、大学自不必说，出现了各种各样的函数，很多人要直呼数学学习并不容易。

函数的学习非常讲究逻辑体系性，整个知识内容的抽象性非常强，知识点多等，需要数学基础提高综合学习能力才能冷静面对函数的学习。 描述一个函数，即函数的表达方式，包括基于函数的形象、性质、表达等，有解析法、列表法、形象法、语言描述法四种。

解析式法是用包含数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。

列表法是以列表方式表示两个变量之间函数关系的方法。

图像法是以与函数自变量x相对应的因子y的值作为原点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中绘制其对应点的方法，由所有这些点构成的图形称为函数的图像。

解析法、列表法、图像法三种方法是我们最常用的表示函数的方法，各有优缺点，例如解析法的优点是简洁、准确、清晰地表示函数与自变量之间的数量关系； 缺点是求出对应值时必须经过复杂的运算，以及在实际问题中也有不一定能用公式表达的函数关系。

因此，根据这三种方法的优缺点，还有一种表示函数的方法叫做语言描述法。 也就是说，用语言文字描述函数关系。

看这里很多人都会觉得函数学习的复杂性，这主要是基于函数本身的特殊性决定的。 如果你看看现代数学函数的定义，你会看到一些端倪。

设a、b为非空数集，根据一定确定的对应关系f，对于集合a中的任意一个数x，假设集合b中唯一确定的数y与其相对应，则映射f:AB被称为从集合a到集合b的一个函数，y=f(x )

其中，x为自变量，y为x的函数，集合a为函数的定义域，x所对应的y为函数值，函数值的集合{f(x丨xa )为函数的值域，f称为对应法则。

其中定义域、值域、对应定律称为函数的三要素，一般写成y=f(x )，写成xD。 如果省略定义域，则一般是指对函数有意义的集合。

从函数的定义可以看出函数是集合之间发生的对应关系。 另外，根据“按照特定的对应关系f”这句话，必须深刻理解a、b之间发生的函数关系有多个且多个。

因此，当函数的对应规律可用解析式表示时，我们用解析式表示； 如果函数关系不能用解析表达式表示，则必须用图像、列表或其他格式表示。

数学的学习重视前因和后果的逻辑关系。 只有牢牢把握每一个环节，才能真正理解一个知识点所蕴含的含义，理解掌握基础知识对数学学习有多么重要。 就像函数这个概念一样，并不是凭空产生的。 它的发展历史是数学历史的缩写。 一起简单理解一下吧。

17世纪初，意大利数学家伽罗瓦在《两门新科学》书中，用文字和比率的语言表达了函数的关系。 这是早期变量或函数概念的描述。

1637年前后，法国数学家笛卡尔在他的解析几何学中提到了一个变量对另一个变量的依赖关系。 遗憾的是，当时的数学知识可能有限，笛卡尔没有进一步提取函数的概念。

17世纪后半叶，英国物理学家、数学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼茨确立了微积分，确立了数学发展的里程碑。 遗憾的是，当时的两人和同时期的数学家都没有阐明函数的一般含义。 大多数函数都是作为曲线来研究的。

像在1673年，莱布尼茨首次使用“函数”( function )来表示“幂”，但他也只是使用这个词来表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长等与曲线上的点相关的几何量。 牛顿在微积分的讨论中，使用了“流量”来表示变量之间的关系。

1718年，瑞士数学家约翰伯努利基于莱布尼茨函数的概念定义了“由任意变量和任意常数形式构成的量”和函数的概念。 他把所有变量x和常数组成的公式称为x的函数，强调函数用公式表示。

1748年，瑞士数学家欧拉在《无穷分析引论》一书中定义了函数：“某个变量的函数是由该变量的几个数或常数以及任何一种方法构成的解析表达式。”

欧拉最大的进步在于，把约翰伯努利给出的函数的定义称为解析函数，进而区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。

1755年，欧拉给出了另一个定义。 “如果一个变量以一种方式依赖于另一个变量。 也就是说，如果后面的变量发生变化，前面的变量也会发生变化。 前一个变量称为后一个变量的函数。 ”

可见欧拉函数定义比约翰伯努利的定义具有更普遍更广泛的意义，促进了当时数学的发展。

1821年，法国数学家柯西结合前人的函数知识，从定义变量出发给出了函数的定义。 某个变量之间存在一定的关系，当给定某个变量的值，其他变量的值能够一起确定时，第一个变量称为自变量，其他各变量称为函数。

柯西最大的贡献是首先出现了自变量这个词，指出对函数来说不一定需要解析表达式。 遗憾的是，柯西认为函数可以用多个函数的解析式表示，函数的发展有限。

1822年，法国数学家傅里叶经过研究发现，某些函数可以用曲线表示，可以用一个公式表示，也可以用多个公式表示，结束了函数概念是否用唯一公式表示的争论，使人们对函数的认识达到了一个新的水平

1837年，德国数学家狄利克雷大胆提出，如何建立x和y的关系无关紧要。 基于此，狄利克雷扩展了函数的概念，认为在某个区间决定的每个x值都有y决定的值，把y称为x的函数。

狄利克雷函数定义的最大特点是避免函数定义中依赖关系的描述，被所有数学家明确接受。 这也是人们常说的经典函数定义。

函数的定义真正发生质的变化是在德国数学家康托创立集合论之后。

美国数学家奥斯瓦尔德布伦利用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数的定义，并利用集合概念进一步具体化了函数的对应关系、定义域和值域。 从这里开始，打破了“变量是数”的界限。 变量可以是数，也可以是其他对象。

1914年，德国数学家豪斯多夫在《集合论纲要》中用不明概念“序数”定义函数，避开了意义不明的“变量”、“对应”概念。

1921年，波兰数学家克拉托夫斯基运用集合概念，进一步定义了“序偶”，使豪斯多夫的定义更为严密。

1930年，现代数学正式定义了函数。 当集合n始终确定的要素y与集合m的任意要素x相对应时，在集合m中定义函数，表示为f。

要素x称为自变量，要素y称为因变量。

从发现函数关系到确立，先后经历了几百年的(时间 )，前后有多少数学家投入，花费了大量的(时间 )精力等进行研究。 看到这里，大家觉得自己的数学学习足够努力了吗？

函数的英文名字是function，翻译成中文的时候为什么是函数呢？

1859年，中国清代著名数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”翻译成了中文的“函数”。

李善兰认为中国古代的“函”字和“含”字是相通的，都有“含”的含义。 因此，“函数”意味着公式中包含了变量。 具体来说，如果所有公式都包含变量x，则该公式称为x的函数。

函数发展的简史是数学发展历史的缩影，在今天的我们看来一个非常简单的数学名词，不知道有多少数学家、数学家花了一生的时间投入其中，才有今天的数学成果。

所以，希望大家在数学学习的过程中，努力学习，注重方法，坚持不懈，反思，深思熟虑，慢慢学好数学。