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我的新书《底层逻辑2》终于要和大家见面了。我常说，只有底层逻辑才有生命力。因为底层逻辑在面对变化时可以应用于新的变化，所以会产生新的方法论。只有掌握了底层逻辑，只有在所有的变化中探索不变，才能动态地、持续地看到事物的本质。但是你相信吗？这个世界上，其实是有这种东西的，这本来就是一种“底层逻辑”。也就是数学。数学是用来描述万物本质和理解世界的底层逻辑的语言。只有数学上理解了一件事，才能真正理解它的本质。经济学的终点是数学；物理的终点是数学；在所有自然学科的尽头，有数学。商业和数学也惊人地密切相关。一个看似复杂的商业模式，可以通过一个简单的数学公式揭示出来。很多商业难题，可以用一些简单而常用的数学知识来解决。这是《底层逻辑2》最想和大家分享的：如何用数学思维去理解商业世界的底层逻辑。在这本书里，我想和你分享6种与商业高度相关的数学知识：

然后四则运算笛卡儿坐标系指数和幂方差和标准差概率和统计博弈论希望这些数学知识能带给你洞察力和深度思考，让你看透商业的本质，在商业世界里走得更远飞得更高。但是，但是，我知道，我明白，我明白一切。数学可能也伤害了你。但是请相信我，作为一个数学专业的毕业生，我可以负责任的说，数学一点都不难。而且，每一个数理逻辑都能解决无数的实际问题。什么？你还是不相信我吗？让我给你举个例子。

先抛个问题。请口算一下，9乘以13是多少？117?没错。怎么算的？是不是先脱口而出“3927”，然后27加90得117？是的，我就是这样计算的。没错。但你有没有发现，有一步是绕不开的，那就是“三月二十七”。但是，你是怎么知道“三月二十七”的？因为你和我一样，小时候在第九年背乘法口诀。我们所有关于乘法的计算都是建立在1999年掌握乘法口诀的基础上的。但是，你知道世界上有一些国家是不背乘法口诀的吗？你不相信我？然后问问你身边的俄罗斯朋友。这个战斗民族就是不背乘法口诀。事实上，世界各国背诵“九九乘法口诀”做乘法口诀的主要集中在东亚地区。比如中国、日本、韩国、越南。俄罗斯、法国等很多国家都没有“99乘法口诀”。是不是很神奇？乘法没有公式，那他们是怎么做乘法的？他们的繁殖是多样和开放的。不过都有用。比如俄罗斯。俄罗斯人，9乘13怎么算？俄罗斯人会拿一张纸，在第一行的左右分别写9和13。然后，在第二行中，加倍9 (18)和减半13 (6.5)。如果6.5不是整数，就去掉小数，只写6。所以第二行是18和6。同样，第三行将18加倍，将6减半，得到36和3。第四行，再加倍减半，得到72，和1.5。1.5扔掉小数，当1用。所以第四行是72和1。听起来有点复杂。画个图就明白了。然后再看看右边那一栏，哪些是“古怪”的。3，3，1，三个都是奇数。然后把这三个奇数左边的数字加起来，看看是什么。没错。是117。天啊，这不是很神奇吗？所以保持左边翻倍，右边减半，最后加几行才是正确答案？为什么？今天就不说为什么了。我今天只想告诉你，乘法其实不止一种。这种乘法就是俄语乘法，也叫“农夫乘法”。他的计算效率还没有1999年乘法的公式高。然而，它也是准确和有用的。数学，准确有用，是对的。另一个例子是古埃及。古埃及人的乘法口诀很有趣。9乘以13，怎么算？公元前3000年，古埃及人通过堆石头来计算乘法。他们首先在地上堆了13块石头。然后在右边再放一个做标记。第二排的石头是双倍的，记号也是。第三行是在第二行的基础上增加一倍。第四排再翻一倍。现在让我们看看右边用来做标记的石头。哪些行加起来是9？一四线？好吧。把这两排石头加在一起，数一数。看到多少？没错，117。天啊，这不是很神奇吗？所以一直把左边翻一倍，右边翻一倍，最后加几行才是正确答案？为什么？其实不只是农夫乘法，古埃及乘法，还有印度乘法，划片乘法等。在这个世界上。所有这些乘法都是正确的。因为它们都很准确，很有用。但是，如果说效率，99-99乘法的公式的效率是其他方式很少能比的。九乘法口诀是春秋战国时期的中国人发明的。秦始皇统一中国后，里耶秦简中的“九九乘法表”已成为当时的数学教材。13世纪，99乘法的公式传入西方国家。而中国的1-9都是单音节的。在英语中，一、二、三……然而，九有一个单双。所以很难在节奏上背诵中国的乘法口诀。俄语更复杂。所以最后99年的乘法大公式只在以中国为主的东亚地区广泛使用。“九九乘法表”这个伟大的发明，让几乎所有的中国人都具备了优秀的基础计算能力。

如果你小时候背乘法口诀的时候就知道它这么有用，你不会更有兴趣去背吗？因此，数学是有趣和有用的。如果你觉得数学很无聊，脱离实际，除了考试没用，那就可惜了。你错过了一种连接现象与本质的语言，你错过了理解商业世界最底层逻辑的终极方式。这些终极方法，其实都是你学过的数学知识。比如前面提到的与业务高度相关的六种数学知识。

商业界的“加减乘除”是什么？为了解释清楚这一点，我画了一张图。这幅图的横轴是竞争和合作。商业的生命是企业。企业和生物界的个体一样，也需要寻求个体的生存繁衍(竞争)和群体的共生繁荣(合作)。有时候，我们选择竞争，有时候，我们选择合作。目的是可持续管理。比较好理解。该图的纵轴是相同维度和不同维度。合作可能在同一个维度，也可能在不同的维度。十个人在种地，是同一个维度。大家的贡献都在同一个维度(种地)。但是，如果有人浇水，有人耕种，有人运输，每个人都有贡献，那就不同维度了。为什么要理解竞争、合作、异次元？因为你明白了这两样东西，你就能明白商业世界里的“加减乘除”是什么。世界的加法是与维度的合作(左上象限)。比如你是怎么安排销售工作的？安排10个销售，大家都去独立开发客户，各自取菜回家？如果是，你就是在用“加法”来管理公司。销售，都是以同样的方式，同样的权重，为公司的整体业绩做出贡献。但是有些公司不这么做。像贝壳一样。壳牌管理公司的方式是乘法。世界的乘法就是不同维度(左下角象限)的合作。同样是房产中介，大部分公司每笔销售都是独立作战。但在壳牌眼里，这种“散兵游勇”式的“加法管理”做不了大事。为什么不试试乘法？壳牌作为房地产经纪人的工作分为10个角色。没有人能独立完成销售工作，他们分工不同，然后合作完成一单。他们对这个榜单的贡献维度(10个维度)不同，权重也不同。这是不同维度的合作，这是商业世界的乘法。商业界最好的算法基本都是乘法。有意思。商业界的减法是什么？世界的减法就是同维度(右上角象限)的竞争。市场份额合计100%。你拿20%，我就亏20%。公司决定今年的市场预算为2000万英镑。请对每个产品线报价。你要多少钱？产品线A，B，C，当你说“减少”的时候，所有人都是悲伤的，振振有词，说“你不能减少”。减了就再也做不下去了。老板很痛苦。为什么会这样？因为每个产品线的竞争对手都是同维度的另一个产品线。这就是：减法思维。那我该怎么办？试试组织。世界的划分就是不同维度(右下角象限)的竞争。每个产品线都想抢预算？当然可以。但是，请不要和其他产品线竞争。尽量和你的“收益”竞争。预算(支出)和收入(收入)是不同维度的数字。不要让支出和支出竞争，让支出和收入竞争。如何竞争？计算投资回报率。所有产品线都可以进行预算。但是这个预算的年投资回报率必须大于2，否则会扣奖金。回去自己算算，再决定申请多少预算。这时候各产品线的竞争对手不是其他产品线，而是自己的营收能力。这个时候，如果大家还报2亿，你可能会笑着借钱，那你就全给了。这说明团队认为自己有能力打败收入这个强大的对手，而不是其他部门的同事。这就是不同维度的竞争。这是组织。除法的核心是把两个关键的商业数字分别放在分子和分母上，要求一个必须打败另一个。这就是商业世界里的加减乘除。每个公司都有很多数字。每个数字都有其独特的价值。商业世界中的加减乘除是从这些数字中挖掘矿产资源的最基本手段。

什么是“商业世界的笛卡尔坐标系”？我给你举个例子。比如总有人问我一个问题：润老师，我应该招什么样的员工，态度好还是能力强？这个问题很难回答。因为这个问题的提问方式是典型的笛卡尔时代之前，高维问题“降维思维”到一维视角后提出的问题。我用图展示一下，就这样：

一维是一条线。态度好，是这条线的左端。能力是这条线的右端。左或右，不可兼得。这就是一维视角。不是吗？这条线中间不是“兼得”吗？实际上，不。它不是中间的“两者兼得”。中间是妥协。用更少的能力，更好的改变自己的态度。都有亏损，但都“不算太差”。但是，你有没有想过，态度和能力是一个维度的东西？态度本身就是一个维度。如果这个维度的一端是“态度好”，另一端就只能是“态度差”。而能力是另一个维度。如果这个维度的一端是“能力强”，那么另一端就只能是“能力弱”。不要把态度和能力放在一条线上做“二选一”。它们是二维的东西。如果迪卡听到这个问题，他可能会给你画一个二维直角坐标系，教你从二维角度思考问题。

这个“二维直角坐标系”用横轴(能力)和纵轴(态度)将可选员工分为四个象限：星星。能力强，态度好；白兔。能力弱，但态度好；土狗。能力弱，态度差；野狗。能力强，但态度差。如果你能像笛卡尔一样思考，你会发现，不仅有能力强、态度差的“野狗”，还有态度好、能力弱的“白兔”。这个世界上，有两个都好的“明星”，也有一个都不行的“乡下狗”。明星，白兔，土狗，野狗。这就是阿里对员工的分类，是典型的二维视角。但是我们再考虑一下。为什么要培养和利用白兔？大白兔值得培养吗？你想培养兔子的能力成为明星吗？如果是，那为什么野狗也不能“养而用之”呢？调整心态成为明星？这个时候，我们需要继续进行维度思考。在态度和能力这两个维度之上，引入了第三维度：可塑性。我们都想招明星员工。但明星员工毕竟稀缺。我们身边遇到的最常见的就是土狗。其次是大白兔。然后就是野狗。明星，很多都在大厂关键岗位，挖不到。然后呢？把土狗、大白兔、野狗培养成明星员工，可能是可行的办法。那么，谁更容易培养呢？这就涉及到“可塑性”这个维度。那么，是一个人的能力可塑性更强，还是他的态度可塑性更强呢？当然是能力。人与人之间，目前的“能力水平”当然不同。但人与人之间的“能力天花板”差别不大。而且，大多数人都离自己的天花板很远。甚至是明星。所以，只要态度好，能力是“可塑”的。但是态度不一样。一个人的价值观、美德和态度是由他过去几十年的生活经历塑造的。一旦形成闭环，就很难改变。除非遇到一些重大的人生变故，否则大部分人都会卡在自己的信仰、价值观、习惯里。态度的可塑性比较差。所以，当我们用三维视角看问题时，我们想到的不仅仅是今天的明星员工，还有未来的明星员工。将建立一套“员工培训体系”，为公司发展“种”明星员工而不是“收”。这就是笛卡尔坐标系的伟大之处。现在，他创造了一个重要的思维工具：维度。一旦我们有了前后左右上下上下三个维度，我们的混沌思维就可以结构化的分成三个方向进行单独研究，然后叠加进行深度思考。这个过程，我称之为：多维思考。

什么是“商业世界的指数和力量”？我们先来看一个公式：2=8。这里，3是指数，8是幂。这个2叫做基数。这个算法叫做幂。我猜你可能见过这两个公式。1.01(365)=37.8。0.99(365)=0.03。这两个公式，看起来没什么问题，也很励志。但问题是，它忽略了有些事情是不能每天改善1%的。比如劳动力的水平。一天可以组装200部手机。但是这一年你再怎么提升自己，一年下来也不可能一天组装756台手机。体力劳动者不行，脑力劳动者也不行。谁能做到呢？机器人。那么，这和商业世界有什么关系吗？是的。我给你举个例子。比如选曲目。我的一个朋友曾经像发现新大陆一样兴奋地对我说：润先生，我发现餐饮行业直到今天还没有一家公司能占据全国5%以上的市场份额。但在互联网行业，一家公司可以占据70%。说明餐饮行业还有巨大的机会。餐饮行业有4万亿的市场规模。如果我用互联网公司的方法进入餐饮行业，拿到70%的市场份额，那不就是一家年收入近3万亿的公司吗？比华为大好几倍！他非常兴奋。但是他真的能用互联网做出一个年收入3万亿的公司吗？你知道当今中国最大的餐饮集团是哪家吗？不是海底捞。是一家叫百胜中国的公司。如果你没听说过Yum！中国，你一定听说过它的品牌：肯德基、必胜客、小肥羊等等。好吃！中国年营收600亿左右。中国餐饮业总规模为4万亿元，约占总量的1.5%。好吃！中国已经是备受推崇的餐饮集团。你研究它的管理方法，很神奇。但仍仅占中国餐饮市场的1.5%。在互联网行业，1.5%的市场份额，你都不好意思跟别人打招呼。为什么？因为餐饮市场本来就是一个倾向于“分散”的市场。好吃！中国已经是有“资本”加持的上市公司了。好吃！中国在互联网方面也做了很多创新(会员制、外卖)，所以也有“科技”的赋能。但是，最后肯德基的每一份炸鸡都需要特定的人来炸，每一盒汉堡都需要特定的人来包。尽管有资本和技术的加持，百胜！年收入600亿的中国，作为“劳动力”还是比较重要的。猜猜百胜有多少员工？中国有？440,000.试想一下，当你管理40个员工的时候，你是不是已经觉得很难了？管理400就更难了。管理4000万，4万？好吃！中国管理着44万员工。如果要达到6000亿，占中国餐饮的15%，可能需要440万从业人员，甚至更多。科技公司华为2021年收入超过6300亿元。但是你猜华为有多少员工？130,000.科技公司用13万员工实现超过6000亿的收入。要达到同样的收入，餐饮行业可能至少需要400万从业人员。到目前为止，地球上还没有一家公司能管理好400万员工。目前最大的是沃尔玛，230万左右。也就是说，在餐饮行业，一个以劳动力为主要生产要素的行业，几乎不可能出现市场份额超过10%的巨头。换句话说，在餐饮行业，创业公司的收入未必遵循幂律分布。餐饮行业创业公司的收入可能遵循正态分布。

(正态分布幂律分布)那么，如果让你选择，你希望进入哪个行业，选择哪个赛道？餐饮业，还是互联网？这是一个非常重要的战略选择。在数学规律的作用下，餐饮业符合正态分布，而互联网符合幂律分布。在了解了数学中的指数和幂之后，你会意识到打架杀人都是小事。选择战斗和杀戮的地点很重要。

什么是“商业世界中的方差和标准差”？而方差和标准差并不是那么明显的概念。但是，他从底层逻辑去理解和指导你的经营管理，就显得尤为重要。所以，请允许我花一点时间，先从数学上稍微解释一下这两个概念。什么是方差？假设，X公司和Y公司各有5名员工。两家公司员工平均收入72万。但是每个员工的收入不一定是准确的72万元。

这时，你一眼就能看出，X公司的员工收入与平均收入的“差距”比y公司大得多，然而，这仍然是一种直观的感受。我们能从这组“个体差异”的数字中计算出一个“群体差异”指数吗？是的。这是方差。计算方差，有两步。先摆正。平方的目的是去除符号。又是平均差。平均的目的是得到差异。先平方，后平均差，这是我们用来衡量一组数据“差”的方法，叫做“方差”。

有了方差这个指标，即使现在把一万家公司放在你面前，你也可以先评级，再排序，然后准确说出任意两家公司谁的收入更分散，谁的收入更集中。标准差是多少？标准差是方差的平方根。X组数据的标准差为536=23.15。Y组数据的标准差为3.6=1.90。回到薪水的话题。有了标准差，我们就可以说X公司的平均工资是72万，波动在23.15万左右。Y公司平均工资也是72万，波动在1.9万左右。那么，这和生意有什么关系呢？是的。质量的本质是标准差。我给你举个例子。假设，你是一个手机品牌，新开发了一款前置拍照手机，需要在曲面玻璃上打孔。这个孔的直径是7.2 mm，这个手机对你很重要，所以你找了X和Y代工厂的样品。很快，两家工厂各给你递回了5个有孔的样品，并告诉你平均孔径正好是7.2mm。但是，你测量每一块玻璃，发现数据其实是不一样的。x厂是个坑。5mm，10mm，10mm，6mm，5mm，没有一个接近7.2mm的，你算一算发现标准差是2.32 mm，你的手机其实是设计成容错的。其实7.2mm 0.3mm都可以装。但是X厂产品的标准差太大了，2.32 mm，没有一个样本在容错范围内，最后产品都不能用。Y厂最小孔7 mm，最大孔7.5 mm，都在7.2mm0.3mm的容错范围内，一看果然标准差很小，只有0.19 mm，所以可以用Y厂的打孔玻璃。那么，你会和哪个工厂合作呢？当然是y厂。因为X厂的标准差高到最终良品率为0；Y厂标准差控制的很好，良品率100%。这也是穿孔玻璃的生产。我们说Y厂生产的打孔玻璃质量更高。那么，什么样的产品质量更高呢？标准差越小的产品质量越高。因为标准差越小，表现越稳定；性能越稳定，质量越高。这就是方差和标准差的意义。其实我们经常能感受到其中的不同。那为什么一定要用数学来量化呢？因为只有量化的差异才是可比较的差异，才是可以改善的差异，才是可以作为健康指标的差异。

什么是“商业世界的概率与统计”？概率是个人用来“衡量”将要发生的事情的“可能性”的一个概念。对于“好事”，衡量“运气”的好坏；对于“坏事”，衡量“风险”的大小。统计学，一个用于群体的概念，用来“衡量”满足条件的一组样本的“比率”的大小。对于“许多事物”，衡量“普遍”的范围；对于“很少的东西”，衡量“稀缺”的程度。关于概率统计有很多相关的数学概念。让我给你举一个例子：大数定律。什么是大数定律？我给你讲个故事吧。做之前咨询我在科技行业工作多年，所以有幸和很多科技行业的同事、朋友、老师一起工作或者认识。开始咨询后，有一部分会离开原公司创业，也会来找我谈。我会给出自己的建议。甚至，会参与一些投资。没想到，我的第一个投资项目收获了很多收益。有一次，我和五元资本(原晨兴资本)创始合伙人刘钦聊到。五元资本是中国最著名的风投之一。他们投过的项目，比如小米，Aauto Quicker等。都获得了相当不错的回报。刘勤跟我分享了他的投资经验。他说他的投资生涯分为三个非常明显的阶段。第一阶段是看什么项目被认为是好的。哇，这个创始人太厉害了，这个项目太优秀了。每个人都有闪光点，每个项目都有自己的独特之处。当然，有些项目是成功的。但没想到，更多的项目失败了。第二阶段，他觉得任何项目都有问题。这个团队有问题，这个产品有问题，这个股权结构有问题，这个市场定位有问题。想找问题，肯定能找到。面对无数的问题，刘琴说自己一直不敢出手。然而，虽然没有风险，却没有收获。第三阶段，他开始逐渐形成一套自己的投资原则。本着这个原则，任何问题都可以投入；不符合这个原则的人，再闪亮的企业家也不会去碰。这一套原则让他避开了很多坑。当然也错过了很多好项目。但如果用这套原则投资的所有项目收益都拉平了，那就成功了。听完之后，我豁然开朗。用数学语言表达，刘琴的“投资原理”是他自己打磨出来的一个极其有价值的“数学预期”公式。每遇到一个创业者，他都会统计一下创业者的情况。如果计算出的数学期望是正的，就投票。如果数学期望是负的，就不要投。那么，数学期望为正的创业者最后会失败吗？而数学预期为负的企业家反而成功了？当然有。但是，如果你投资10个、100个，甚至1000个项目，你会发现这些“个体不确定性”会被逐渐抹平，“群体确定性”会慢慢出现。最后1000个项目的平均收益无限接近“数学期望”。这就是“大数定律”。举个最简单的例子，如果抛硬币得到正面的概率是50%，你抛的次数越多，硬币越接近的一半就是正面。因为大数定律，个人的不确定性转化为群体的确定性。那么，到底什么是投资呢？投资是一个数学游戏。专业投资人赚的从来不是一个项目的暴利。存在“个体不确定性”。投资人赚的是一万个项目的平均收益。有“群体决心”。一个“顶尖”的职业投资者之所以顶尖，是因为他独特的投资原则比别人有更高的“数学期望”，他对“大数定律”的信仰比别人更强。我问刘琴，你用了多少年才达到第三阶段，找到自己的“投资原则”？刘琴说，15年。我听后决定，除非有特殊情况，否则我再也不会直接投资项目了。

我投这个项目，纯粹是因为运气。一身冷汗。这是概率统计。因为这个世界从来都不确定。

什么是「商业世界的博弈论」？你可能在经济学书上看过博弈论，在社会学课上听过。是的，博弈论被广泛应用。但是说到博弈论，首先是一个数学问题。冯诺依曼和约翰纳什是数学家，他们发明了博弈论并为之做出了巨大贡献。关于博弈论有很多重要的概念，我就举个例子：回报矩阵。回报矩阵，也称为支付矩阵、回报矩阵、赢得矩阵和收益矩阵。名字很多，但都有“矩阵”二字。因为一旦决策者从单人变成至少两个人，决策的结果就会从一维的“得失”变成二维的“利益”问题。剪刀和布就是最典型的例子。a和b石头、布、剪刀。对于A来说，剪刀石头布哪个得失最大？很明显，这要看B的情况如何，B的选择和A的选择共同决定了彼此的“利益”。我用一个表格来表示。

这张表是收入矩阵。A和B都很在意自己的“得失”，但他们的“得失”交织在一起，形成了这个“利害关系”图。当A给石头，如果B给剪刀，收益是(1，-1)。这意味着A加1分，B减1分。但如果B预期到A的石头，做了一个“布”，那么利润就变成了(-1，1)，情况就完全反过来了，变成了A减1分，B加1分。但是，如果A预期了B的预期，知道B预期了自己的石头，所以他出布，所以他出剪刀(有点拗口)。情况再反过来，收益变成(1，-1)，A加1分，B减1分。然后，B会继续预测A对B的预测.他们的拳头动不了，但他们的心在动。两人在心里不断博弈，各自的得失也在这个“收益矩阵”中不断徘徊。6回合后又回到原点。

这是返回矩阵。每个“中国人”描述的游戏规则，翻译成“数学”，就是一张回报矩阵表。在这个收入矩阵中，两个决策者都研究如何扩大他们获胜的一面。最好赢。那么，在石头剪子布的游戏规则下，谁能在这个收入矩阵中“胜出”？不。一个“双赢”的游戏是一个没有活力的游戏。围棋、象棋、国际象棋、五子棋，这些流传了几十万年的游戏，没有必胜的策略。因为如果有人能稳赢，必然输的那一方是不会参与的。所以这个游戏不能流传下来。学习博弈论有什么意义？博弈论的许多重要概念，如收入矩阵、优势策略、纳什均衡等，可以帮助你更好地理解商业世界中的问题，如投资和购买。换句话说，在某些特定的规则下，是有可能实现“稳赢”的。因为博弈论可以帮助你研究在复数主体下如何进行战略决策。

最后，这就是我今天要和大家分享的底层逻辑，以及六个相关的数学知识。希望对你有启发。《底层逻辑2》还有更多其他知识帮助你构建底层逻辑，解决商业世界的各种问题。当然，数学的底层逻辑并不局限于商业世界。数学可以帮助我们看清世界的真相。参差不齐的真相。不公平的事实。人性的真相。但是，借用罗曼罗兰的一句话：真正的英雄主义，是在看清生活的真相之后，热爱生活。因为在这样一个道理下，我们还是可以创造美的。是的，看到真相，创造美丽。最后还要感谢华章公司，机械工业出版社，还有朋友们的支持，让《底层逻辑2》最终得以出版。谢谢你。最后，我也敢邀请你和我一起通过底层逻辑看世界的牌。今晚，《底层逻辑2》将在“润米优选”正式与大家见面。直播过程中，也希望能以“限时五折，定时抽，限量签售”的方式感谢每一位读者。欢迎预约，期待您的到来。

大米优先，正在看直播。

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