一. 《集合与函数》

内容交叉互补，有幂幂功能。在观察到的图像中，奇偶、增减最为明显。

复合函数出现，性质倍增定律被区分。要想详细证明，就要掌握定义。

指数函数和对数函数，它们互为反函数。基数不是1的正数，1的两边增减。

功能域很容易找到。分母不能等于0，偶数根必须非负，零和负数没有对数；

函数的正切角不直，余切函数的角度不均匀；其余函数实数集，用于交集的各种情况。

两个函数互为反函数，单调性相同；图像是相互对称的，y=x是对称轴；

求解很有规律，替换的定义域反过来了；函数的定义域，原函数的值域。

幂函数好记，指数缩减分数；看函数性质的指数，奇母奇子的奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非偶函数；在图像的第一象限，函数为正或负。

二。《三角函数》

三角函数是函数，象限符号是有标记的。单位圆的图像，周期性奇偶增加或减少。

同角关系很重要，需要简化和证明。在六边形的顶点，从上至下弦切；

在中心标记数字1，连接顶点三角形；三角平方和，倒数关系是对角线，

任何顶点函数都等于最后两个除法。归纳公式好，负，正，然后大，小，

当它成为一个税收角落时，很容易查找表格，简化证明是不可或缺的。2.5的整数倍，奇宇称保持不变，

后者将其视为锐角，并在原函数上签名。两个角度之和的余弦转换成单个角度，便于评估。

余弦积减去正弦积，换角变形公式。而且差积必须同名，余角改名。

先证明角度，注意结构函数名，基本量不变，化繁为简。

在逆原理的指导下，功率上升，功率下降，差积减少。条件的证明，方程的思想指明了方向。

万能公式不一般，有理公式优先。公式顺逆运用，变形运用巧妙；

1余弦加余弦，1余弦减正弦，功率上升时角度减半，功率上升下降时是常态；

反三角函数，本质上就是求角度，先求三角函数值，再判断角度范围；

利用直角三角形，形象直观，易更名，将简单三角形的方程转化为最简单的解集；

三。《不等式》

利用函数的性质解决不等式的方法。它指的是非理性的不平等，转化为理性的不平等。

从高到低一代，一步一步的转化应该是等价的。数字之间的相互转换有助于解决问题。

证明不等式的方法，实数性质强大。和0比差，和1比高下。

具有良好的直接难度分析和清晰思路的综合方法。如果否定的基本形式不常用，那么肯定的就是否定的。

还有重要的不等式和数学归纳法。功能帮助，绘图，建模和施工。

四。《数列》

等比例两级数，通式中n项之和。求两个有限的极限，改变四则运算的顺序。

问题系列多变，方程化简为整体计算。数列求和难，错位抵消，巧妙变化。

高斯取长补短法和分裂项求和公式。归纳的思想很好。做一个程序好好思考：

数二看三联想，猜测证明不可或缺。还有数学归纳法证明步骤是程序化的：

首先验证然后假设从K到K加1，推理过程必须详细，用归纳原理确认。

动词（verb的缩写）《复数》

一旦imagi

论证操作很奇怪，用积商求和差。四个属性是不可分割的，相等的，模块化的，共轭的，

两者不会是实数，不好对比大小。复数很接近，要注意本质区别。

不及物动词《排列、组合、二项式定理》

加法的两个原理，贯穿始终的规律。与顺序无关的是组合，而要求顺序的是排列。

两个公式，两个性质，两种思路和方法。总结排列组合，应用题一定要转化。

把他们安排在一起，先选后排，这是常识。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

没有思念，没有思念，没有思考。装订和插入空白是一个技巧。组合身份，定义证明建模测试。

关于二项式定理，中国杨辉三角。性质的两个公式，函数赋值变换。

七。《立体几何》

线面三位一体，以锥形台球为代表。所有的距离都是从点开始，所有的角度都是一条线接一条线。

垂直度是重点，证明一定要明确概念。线，线，面，面，三副循环。

方程整体解出来，化为意识。在计算之前，需要证明并画出移除的图形。

三维几何辅助线，通常是垂直的和平面的。投影的概念很重要，对于解题是最关键的。

平面外直线的二面角和体积投影公式活。公理有三条垂直线，大量问题可以解决。

八。《平面解析几何》

有向线段、直线圆、椭圆双曲抛物线、参数方程、极坐标、数形结合称为范式。

笛卡尔的观点，点与有序实数对，即二一对应，开创了几何学的新方法。

两种思想相互反映，改造思想起主导作用；说待定系数法其实就是方程组的思想。

三种综合，画一条曲线找一个方程，给方程一条曲线，判断曲线的位置关系。

四个工具是法宝，有好的坐标思想参数；平面几何不能丢，复数可以用旋转变换解决。

解析几何就是几何，不得意忘形就活不下去。直观的图形是细致的，数学是数学形态学。

数学必修1

1.聚集

(约4个课时)

(1)集合的意义和表示

通过实例，理解集合的含义，认识元素与集合的“归属”关系。

能够选择自然语言、图形语言和集体语言(列举或描述)描述不同的具体问题，感受集体语言的意义和作用。

(2)集合之间的基本关系

理解集合之间包含和相等的含义，能够识别给定集合的子集。

理解特定情境下成套和空集的含义。

(3)集合的基本运算

理解两个集合的并与交的含义，求两个简单集合的并与交。

了解给定集合中一个子集的补集的意义，就会找到给定子集的补集。

能利用维恩图表达集合的关系和运算，实现直观的图在理解抽象概念中的作用。

2.函数的概念和基本初等函数I

(约32课时)

(1)功能

进一步理解函数是描述变量间依赖关系的重要数学模型，并在此基础上学会用集合和对应语言描述函数，认识对应关系在描述函数概念中的作用；知道了一个函数的元素，就可以求出一些简单函数的定义域和值；理解映射的概念。

在实际情况中，会根据不同的需要选择合适的方法(如形象法、列表法、分析法)来表示功能。

了解简单分段函数，并简单应用。

通过所学函数，尤其是二次函数，理解函数的单调性、最大(最小)值和几何意义；结合具体函数理解奇偶性的含义。

学会利用函数图像理解和研究函数的性质(见例1)。

(2)指数函数

(细胞分裂，考古用碳的衰变，人体内药物残留的变化

了解对数的概念及其运算性质，知道一般对数可以通过改变底数公式转化为自然对数或普通对数；通过阅读材料，理解对数的历史及其在简化运算中的作用。

通过具体实例，直观理解对数函数模型所描绘的数量关系，初步理解对数函数的概念，认识到对数函数是一种重要的函数模型；借助计算器或计算机，可以画出具体对数函数的图像，探索和理解对数函数的单调性和特殊点。

知道指数函数和对数函数是反函数(A > 0，a1)。

(4)幂函数

通过例题理解幂函数的概念；结合函数的图像来理解它们的变化。

(5)函数和方程

根据二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性和个数，从而了解函数零点与方程根的关系。

根据具体函数的图像，借助计算器，用二分法求出相应方程的近似解。知道这种方法是求方程近似解的常用方法。

(6)函数模型及其应用

用计算工具比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异；结合实例，可以理解线性上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的含义。

收集一些常用函数模型的例子(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等。)在社会生活中，并了解函数模型的广泛应用。

(7)实习

按照一定的主题，收集一些历史事件和人物的相关资料(开普勒、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉等。)17世纪前后对数学发展有重要作用的，或者现实生活中函数的例子，用小组合作的方式写一篇关于函数概念的形成、发展或应用的文章，以便在课上交流。具体要求见数学文化要求。

数学必修2

1.初步立体几何

(约18课时)

(1)空间几何

利用物理模型和计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合的结构特征，并能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

能画简单空间图形的三视图(长方体、球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体等的简单组合。)，识别以上三视图所代表的三维模型，用材料(如纸板)制作模型，用斜双面法画出其正视图。

通过观察两种方法(平行投影和中心投影)绘制的视图和直视图，了解空间图形的不同表示法。

完成实习，比如画一些建筑的视图和正视图(在不影响图形特征的基础上，对尺寸和线条要求不严格)。

理解球、棱柱、棱锥、平台的表面积和体积的计算公式(不需要记忆公式)。

(2)点、线、面之间的位置关系。

借助长方体模型，在对空间点、线、面位置关系有直观认识和理解的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，理解以下可作为推理依据的公理和定理。

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

公理2:若过三个不在一条直线上的点，则只有一个平面。

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条公共直线通过该点。

公理4:平行于同一直线的两条直线平行。

定理：如果空间中两个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。

基于上述立体几何的定义、公理、定理，通过直观感知、运算确认、思辨论证，认识和理解空间中直线与平面平行度、垂直度的相关性质和判断。

运算，总结出以下判断定理。

如果平面外的直线平行于直线

如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则两个平面垂直。

确认、总结和证明以下性质定理。

若一条直线平行于一个平面，则通过该直线的任意平面与该平面的交线平行于该直线。

如果两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面的交线相互平行。

垂直于同一平面的两条直线平行。

如果两个平面垂直，则一个平面中垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

利用所得结论可以证明空间位置关系的一些简单命题。

2.平面几何初步分析

(约18课时)

(1)直线和方程

在平面直角坐标系中，结合具体图形，探究确定直线位置的几何特征。

理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法描绘直线斜率的过程，掌握直线两点斜率的计算公式。

根据斜率可以判断两条直线是平行还是垂直。

根据确定直线位置的几何特征，探索和掌握直线方程的几种形式(点斜型、两点型和一般型)，了解斜型与线性函数的关系。

解方程求两条直线的交点坐标。

探索并掌握两点间距离公式和离一条直线的距离公式，求两条平行直线间的距离。

(2)圆和方程

复习和确定圆的几何特征，探索和掌握圆在平面直角坐标系中的标准方程和一般方程。

根据给定的直线与圆的方程，可以判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

一些简单的问题可以用直线和圆的方程来解决。

(3)在平面解析几何的初步学习过程中，我体会到了用代数方法处理几何问题的思想。

(4)空间直角坐标系

通过具体的情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，利用空间直角坐标系描述点的位置。

通过表示特殊长方体顶点的坐标(各边分别平行于坐标轴)，探索得到空间两点间距离的公式。

数学必修3

1.初步算法

(约12课时)

(1)算法、程序框图的意义

通过分析解决具体问题的过程和步骤(如解二元线性方程组等。)，实现算法的思想，理解算法的意义。

通过模仿、操作、探索，体验设计程序框图解决问题的过程。在解决具体问题的过程中(如解三元线性方程组等。)，了解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

(2)基本算法语句：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步理解算法的基本思想。

(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，认识中国古代数学对世界数学发展的贡献。

2.统计数字

(约16课时)

(1)随机抽样

(1)能从现实生活或其他学科中提出一些有价值的统计问题。

结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

在参与解决统计问题的过程中，学会用简单的随机抽样方法从总体中抽取样本；通过实例分析，了解分层抽样和系统抽样的方法。

能够通过实验、查阅资料、设计问卷等方式收集数据。

(2)用样本估计总体。

通过实例理解分布的意义和作用。在表示样本数据的过程中，学会列出频率分布表，绘制频率分布直方图，频率线g

在解决统计问题的过程中，进一步理解利用样本估计总体的思想，利用样本的频率分布估计总体分布，利用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；体验频率分布的随机性和初步样本的数字特征。

会运用随机抽样的基本方法和样本估计的思想来解决一些简单的实际问题；通过对数据的分析，可以为理性决策提供一些依据，认识统计的作用，认识统计思维和确定性思维的区别。

形成对数据处理过程的初步评价意识。

(3)变量的相关性

通过收集真题中两个相关变量的数据制作散点图，利用散点图直观了解变量之间的相关性。

经历用不同的估计方法描述两个变量线性相关的过程。知道了最小二乘法的思想，就可以根据线性回归方程的给定系数公式建立线性回归方程(见例2)。

3.可能性

(约8个课时)

(1)在具体情境中，理解随机事件的不确定性和频率的稳定性，进一步理解概率的意义和频率与概率的区别。

(2)通过实例理解两个互斥事件的概率加法公式。

(3)通过实例，理解经典概率及其概率计算公式，用枚举法计算基本事件的个数和一些随机事件的发生概率。

(4)理解随机数的含义，利用模拟方法(包括用计算器产生随机数进行模拟)估计概率，初步理解几何概率的含义(见例3)。

(5)通过阅读材料了解人类对随机现象的认知过程。

数学必修4

1.三角函数

(约16课时)

(1)任何角度和弧度

了解任意角度和圆弧系的概念，能够进行弧度和角度的变换。

(2)三角函数

借助单位圆理解任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

借助单位圆内三角函数线推导归纳公式(正弦、余弦、正切)，通过画图知道三角函数的周期性。

借助图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大最小值、图像与X轴的交点等。).

理解同角三角函数的基本关系：

用具体事例理解现实意义；借助计算器或计算机绘制的图像，观察参数A，对函数图像变化的影响。

用三角函数解决一些简单的实际问题，认识到三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型。

2.平面向量

(约12课时)

(1)平面向量的实际背景和基本概念

通过力和力的分析等例子，了解向量的实际背景，平面向量和向量相等的意义，向量的几何表示。

(2)向量的线性运算

掌握向量加减法的运算，理解其几何意义。

掌握向量数相乘的运算，理解其几何意义，以及两向量共线的意义。

了解向量的线性运算性质及其几何意义。

(3)平面向量的基本定理和坐标表示。

了解平面向量的基本定理及其意义。

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

能用坐标表示平面向量的加减乘除。

理解坐标表示的平面向量共线的条件。

(4)平面向量的量积

通过物理学中的“功”等例子，理解平面矢量积的含义及其物理意义。

理解平面向量的量积与向量投影的关系。

掌握量积的坐标表达式，可以计算平面向量的量积。

两个向量之间的夹角可以用量的乘积来表示，

(1)通过矢量的量积推导两角之差的余弦公式的过程，进一步理解矢量法的作用。

(2)两角之和、差的正弦、余弦、正切公式和双角的正弦、余弦、正切公式可由两角之差的余弦公式导出，了解其内在联系。

(3)能够利用上述公式进行简单的恒等式变换(包括对积和差、和差积、半角公式的导和求导，但不要求死记硬背)。

数学必修5

1.求解三角形

(约8个课时)

(1)通过探索任意三角形的长度和角度的关系，掌握正弦定理和余弦定理，解决一些简单的三角形测量问题。

(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2.系列

(约12课时)

(1)序列的概念和简单表示。

了解数列的概念和几种简单的表达式(列表、图像、通式)，了解数列是一种特殊的函数。

(2)等差数列和等比数列

理解等差数列和等比数列的概念。

探索并掌握等差数列和等比数列的一般公式和前N项之和的公式。

在具体的问题情境中，可以找到数列的算术或比例关系，运用相关知识解决相应的问题(见例题1)。

了解等差数列与等比数列、线性函数与指数函数的关系。

3.不平等

(约16课时)

(1)不平等关系

现实世界和日常生活中存在大量的不平等关系，了解不平等的实际背景(群体)。

(2)一元二次不等式

体验从实际情况中抽象出一个一元二次不等式模型的过程。

通过函数图像理解一元二次不等式与对应函数、方程的关系。

能解一元二次不等式，并尝试设计出求解给定的一元二次不等式的程序框图。

(3)二元线性不等式和简单线性规划问题。

(1)从实际情况中抽象出二元线性不等式组。

理解二元线性不等式的几何意义，用平面面积表示二元线性不等式(见例2)。

从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，可以求解(见例3)。

(4)基本不等式：

探究和理解基本不等式的证明过程。

简单的最大(最小)值问题会用基本不等式解决(见例4)。

函数的性质指数和对数

(1)定义域、值域和相应的规则

(2)单调性

对于任何x1，x2D

若x1

如果x1 f (x2)，则称f(x)是d上的减函数。

(3)平价

对于函数f(x)的定义域中的任意x，若f (-x)=f(x)，则f(x)称为偶函数。

如果f (-x)=-f(x)，则f(x)称为奇函数。

(4)周期性

对于函数f(x)的定义域中的任意x，如果有一个常数t使得f(x t)=f (x)，则f(x)称为周期函数(1)的分数指数幂

数学选修课

选修2-1

1.常见逻辑术语

(约8个课时)

(1)命题及其关系

理解一个命题的逆命题、无命题和逆无命题。

了解必要条件、充分条件、充要条件的意义，会分析四个命题之间的关系。

(2)简单的逻辑连接词

理解逻辑连词“或”、“与”、“非”的含义。

(3)全称量词和存在量词

理解全称量词和存在量词的含义。

(2)能正确否定含有量词的命题。

2.圆锥曲线和方程式

(约16课时)

(1)圆锥曲线

了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

体验从具体情境中抽象出椭圆和抛物线模型的过程，掌握其定义、标准方程、几何图形和简单性质。

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的相关性质。

一些简单的几何

通过圆锥曲线的学习，进一步理解数形结合的思想。

(2)曲线和方程

了解曲线和方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。

(3)椭圆、双曲线和抛物线

卵形的

标准方程X ^ 2/A ^ 2Y ^ 2/B ^ 2=1(AB0，C ^ 2=A ^ 2-B ^ 2)(重点在X轴)

焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

偏心率e=c/a

双曲线

标准方程X 2/A 2-Y 2/B 2=1 (A0，B0，C 2=A 2B 2)(重点在X轴)

焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

偏心率e=c/a

抛物线

标准方程y ^ 2=2px(P0)(重点是X轴的正半轴)

协调人F(p/2，0)

3.空间向量和立体几何

(约12课时)

(1)空间向量及其运算

经历从平面到空间的传播向量及其运算的过程。

了解空间向量的概念、基本定理和意义，掌握空间向量的正交分解和坐标表示。

掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

掌握空间向量的数量积及其坐标表示，利用向量的数量积判断向量的共线性和垂直度。

(2)空间向量的应用

了解直线的方向向量和平面的法向量。

能用矢量语言表达线、线、面的垂直平行关系。

关于直线与平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)可以用向量法证明(见例1、例2、例3)。

利用向量法解决线、线、面夹角的计算问题，实现向量法在研究几何问题中的作用。

参考案例

1.在已知的直角三角形棱镜中，ACB=90，BAC=30，m是棱镜的中点。证明：

2.已知矩形ABCD与矩形ADEF垂直，以AD为共边，但不在同一平面上。m，n分别在对角线上BD，AE，和。

证明：MN平面CDE。

3.给定单位立方，e和f分别是边和的中点。试着问：

(1)与EF的夹角；(2)AF和平面之间的角度；(3)二面角的大小。

选修2-2

1.导数及其应用

(约24课时)

(1)导数的概念及其几何意义

通过大量例题的分析，通过平均变化率向瞬时变化率过渡的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率是导数，体会导数的思想和内涵(见选修1-1例中的例题2和例题3)。

通过函数图像直观理解导数的几何意义。

(2)衍生工具的操作

根据导数的定义，求函数的导数。

利用基本初等函数的求导公式和求导的四种算法，可以得到简单函数的求导和简单复合函数的求导(仅在形式上)。

将使用导数公式表。

(3)导数在函数研究中的应用。

借助几何直观探索和理解函数的单调性与导数的关系(选修1-1的情况见例4)；利用能量的导数来研究函数的单调性，可以找到不超过三次的多项式函数的单调区间。

结合函数的形象，理解函数在某一点取极值的充要条件；用导数求不超过三次的多项式函数的最大值和最小值，闭区间内不超过三次的多项式函数的最大值和最小值；体验导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

(4)生活中优化问题的例子。

比如通过优化利润最大化、节约材料、效率最大化等问题，实现导数在解决实际问题中的作用(参见选修1-1情况下的例5)。

(5)定积分和微积分基本定理。

通过求曲边梯形的面积、变力做功等，从问题情境中理解定积分的实际背景。借助几何直观，实现定积分的基本思想，初步理解定积分的概念。

通过交流变速运动物体的速度与距离的关系

了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模型，并利用它们进行一些简单的推理。

通过具体事例理解合理推理和演绎推理的联系和区别。

(2)直接证明和间接证明

了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析方法和综合方法的思维过程和特点。

了解间接证明的一种基本方法：3354反证法；了解反证的思维过程和特点。

(3)数学归纳法

了解数学归纳法的原理，用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

(4)数学文化

通过实例介绍(如欧几里德《几何原本》，马克思《资本论》，杰斐逊《独立宣言》，牛顿三大定律)，体会公理化思想。

介绍计算机在自动推理和数学证明领域的作用。

3.数系的扩展和复数的引入

(约4个课时)

(1)了解问题情境中数系的扩展过程，认识实际需求与数学(数的运算规则、方程理论)的矛盾在数系扩展过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

(2)了解复数的基本概念和复数相等的充要条件。

(3)理解复数的代数表示及其几何意义。

(4)能够进行复代数形式的四则运算，理解复代数形式的加减运算的几何意义。

参考案例

1.根据定律，一个物体沿直线运动。我们已经知道，它在某一时刻的移动速度(即瞬时速度或瞬时变化率)是该时刻的导数，即考虑现在和现在之间的位置总变化。我们把区间分成N个单元格，假设单元格长度相等，它们的长度为。对于每个单元格，我们假设变化率近似为常数，因此我们可以说

变化率时间。

在第一个小区间，即从到，假设的变化率大约为，所以有

类似地，对于第二个小区间，即从到，假设的变化率大约为，所以有

等一下。将所有单元格中获得的位置变化的所有近似值相加，得到

s的总变化

我们可以把和之间的总位置变化写成。另一方面，当分段无限精细并且n趋于无穷大时，求和公式

极限是定积分或，即和之间的总位置变化。所以，我们可以得到以下结论：

也就是说，变化率的定积分给出了总变化量。

特别是，当物体以匀速运动时，也就是说，

当物体以匀加速运动时，即(其中为常数)，

一般来说，如果是连续函数，然后

这是微积分的基本定理。这里给出的证明不是很严格，但是反映了微积分基本定理的基本思想，以及微分(导数)和积分的关系。

选修2-3

1.计数原理

(约14课时)

(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

总结分类加法计数和分步乘法计数的原理；根据具体问题的特点，可以选择分类加法计数或分步乘法计数的原理来解决一些简单的实际问题。

(2)排列组合

理解排列和组合的概念；利用计数原理可以推导出排列数和组合数的公式，解决简单的实际问题。

(3)二项式定理

二项式定理可以用计数原理证明(见例1)；能利用二项式定理解决与二项式展开有关的简单问题。

2.统计和概率

(约22课时)

(1)概率

在具体问题的分析中，理解有限值离散型随机变量及其分布表的概念，知道分布表在描述随机现象中的重要性。

通过实例(如彩票)，了解超几何分布及其推导过程，并进行简单应用(见例2)。

在特定情境下，理解条件概率的概念和两个事件的独立性，理解n个独立重复t的模型

理解有限值离散随机变量的均值和方差的概念，计算简单离散随机变量的均值和方差，解决一些实际问题(见例4)。

借助直觉(如实际问题的直方图)，认识正态分布曲线的特征和曲线所表达的意义。

(2)统计案例

通过“肺癌与吸烟有关吗？”，了解独立性检验的基本思想、方法和初步应用(只需22列联表)。

通过对“质量控制”和“新药是否有效”的询问，了解实际推断原理和假设检验的基本思路、方法和初步应用(参见选修1-2案例中的例1)。

通过探索昆虫分类，了解聚类分析的基本思想、方法和初步应用。

通过探索人的体重与身高的关系，了解回归的基本思想、方法和初步应用。

参考案例

1.二项式定理的证明。

是n次乘法，每次乘法时有两种选择。选择A或b .从逐步计数的原理可以知道，展开式中有共同项(包括相似项)，其中每一项都是0，1，n；对于每一项，通过K选择A和B得到，其出现次数相当于K个A从N开始的组合次数，当它们与相似项组合时，得到二项式展开，这就是二项式定理。

例高三 (1)班联欢会上设计了一个游戏。一个口袋里有10个红球和20个白球。这些球除了颜色都一样。玩家一次触摸五个球，触摸四个红球的人赢得一等奖。求中一等奖的概率。

从30个球中找出5个球的组合数是：所以，

如果x代表接触的红球数量，那么x服从超几何分布n=30，m=5，n=10，m=4，那么

3.随机投掷一枚均匀的硬币100次，相当于重复实验100次。每次都有两种可能的结果(正面，不是正面)，正面的概率是。

如果x是硬币正面出现的次数，那么x服从二项分布，那么

由此可以得出“随机扔硬币100次刚好50个头”的概率如下

在学习概率的时候，会有一个误区，认为既然人头出现的概率是0，那么100次抛硬币中必然会出现50个人头，或者说这个事件的概率应该很高。但计算表明概率只有8%左右。

根据天气预报，下个月某地区发生小洪水的概率是0.25，大洪水的概率是0.01。工地上有一台大型设备，保护设备有以下三种方案。

方案一：运输设备要3800元。

方案二：建防护栏要2000元。但是栅栏不能阻止洪水。洪水来了，设备损坏，损失成本6万元。

方案三：不采取措施，希望不发生洪水。这时候洪水来了就亏了6万，洪水来了就亏了1万。比较一下哪个方案更好。

选修3-1数学史

数学史专题讲座

1.早期算术和几何——计数和测量

纸莎草纸(古埃及)记载的数学。

板书记载的数学(两河流域)。

中国《周髀算经》，勾股定理(赵爽图)。

十进制数值系统的发展。

2.古希腊数学

勾股多边形数，从勾股定理到勾股数，不公度问题。

欧几里得和《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺子作图，公理化思想对现代科学的深远影响。

阿基米德的作品：求积法。

3.中国古代数学瑰宝。

《九章算术》数学(方程、加减法、正负数)。

大衍求一技之长(孙子定理)。

中国古代数学家介绍。

4.平面解析几何的生成，——个数和形状的组合

函数和曲线。

笛卡尔方法论的意义。

5.微积分的出现——划时代的成就

6.现代数学的两位巨星3354欧拉和高斯

欧拉的数学直觉。

高斯时代的特征(数学严谨)。

7.永恒的p的答案

近世代数的产生。

8.康托的集合论3354关于无限的思考

无穷集与势。

罗素悖论与数学基础(哥德尔不完全定理)。

9.随机思维的发展

概率论溯源。

现代统计学的起源。

10.算法思想的历程

算法的历史背景。

计算机科学中的算法。

11.中国现代数学的发展

近代中国数学家努力追赶世界数学先进水平的光辉历程。

解释和建议

1.这个题目不必追求数学发展史的系统性和完整性。它通过生动的语言和喜爱的例子来呈现内容，从而认识数学的重要思想和发展轨迹。本题目的内容安排可以采取多种形式，可以追溯从古至今的数学发展史；也可以从现实的、熟悉的数学问题出发，追根溯源，回望数学发展过程中的重要事件和人物。比如可以从“我们现在有多少种计数方法”入手，追溯历史上的计数方法(巴比伦60，英国12，计算机二进制和十进制，二进制和中国的八卦)。再比如，可以从大家熟悉的入手，漫谈祖冲之的成就，用随机数法计算，介绍古希腊和中国如何看待无理数，以及目前计算机可以计算出小数点后多少位。

2.以上提供的内容只是一个选项，本专题内容的安排可以根据具体情况适当调整。内容要突出思想性、数学发展的轨迹和数学家艰苦奋斗的科学精神。内容选择要达到可以接受的水平，呈现方式要图文并茂，丰富多彩，趣味性强。

3.教学方法要灵活多样，如讲故事、讨论交流、查阅资料、写报告等。教师应该鼓励数学发展的历史轨迹。就你感兴趣的历史事件和人物写一篇自己的研究报告。

选修3-2信息安全和密码

1.初等数论的相关知识

(1)了解整除和同余，模M的完全同余系和简化余系，欧拉定理和费马小定理，大数分解问题。

(2)了解欧拉函数的定义和计算公式、威尔逊定理及其在素数判别、本原根和指数、模P的本原根的存在性、离散对数问题中的应用。

2.数论在信息安全中的应用

(1)了解通信安全中的相关概念(如明文、密文、密钥)和通信安全中的基本问题(如保密性、数字签名、密钥管理、分发和共享)。

(2)了解一个经典密码学的例子：流密码(使用模M同余)。

(3)了解公钥体制(单向函数概念)，以及加密和数字签名的方法(基于大数分解的RSA方案)。

(4)了解离散对数在密钥交换和分发—— Diffi-Hellman方案中的应用。

(5)了解离散对数在加密和数字签名中的应用。——埃尔加马尔算法。

(6)了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用。

球面上选修的3-3几何

1.通过丰富的实际问题(如测量、航空、卫星定位)，认识到引入球面几何知识的必要性。

2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。比如球面上的大圆等价于平面上的直线，球面上两点间的最短距离就是大圆弧的下弧部分，球面幂定理。

3.体验球面具有类似于平面的对称性质。

4.了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二面角(月亮形状)、极线和赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形(简称球面极三角形)。

5.通过球面几何和欧氏平面几何的比较，探索欧氏平面图形的哪些性质可以被表现出来

8.利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体会球面几何与拓扑学的关系。

9.利用向量的叉乘(叉积)探索证明球余弦定理()和勾股定理(即当时的球余弦定理)，由球余弦定理推出球正弦定理。

10.体验当球面半径无限增大时，球面逼近平面，球面的三角形公式就变成了对应的平面三角形公式。

1.对另一个非欧几何模型3354庞加莱模型的初步认识。

选修3-4对称与群

1.通过丰富的对称图形，体验日常生活和现实世界中大量对称现象和一般特征的存在。

2.了解刚体运动的基本性质和规律。

3.通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画图形不同对称性的思路，逐渐形成图形对称变换的概念。

4.找出它所有的对称变换。

5.逐步形成对称变换与合成的概念，理解对称变换与合成的封闭性。

6.通过运算理解对称变换满足结合律。

7.通过运算，理解恒等式变换的概念，逆变换的概念及其性质，求一个对称变换对一个具体图形的逆变换。

8.建立变换群的概念，初步了解抽象群的概念。

9.借助几何学可以直观地得到一些具有一定对称性的简单化学分子模型的几何图形和对称群。

10.理解一个总体的表示法——乘法表示法。

1.理解从简单的群3354直积构造更复杂的群的方法。

12.了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。

13.检查其他形式的对称变换，如代数表达式。通过求解二次和三次方程的过程，了解代数方程根的对称群的意义，以及伽罗瓦运用群论求解方程根的科学史实，感受群论在现代数学中的重要作用。

选修3-5欧拉公式和闭曲面分类

1.复习所学的变换，用它们对平面图形进行分类。

(1)复习平面图形的平移、旋转、平面运动、反射、同余、相似、伸缩、相似变换、分类。

(2)在上述变换下，探究有哪些几何性质是不变的。

(3)体验转化的一些基本特征：1-1对应性和连续性。

2.欧拉公式

(1)通过探究发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。

(2)理解欧拉公式的拓扑证明。

(3)利用欧拉公式解决一些问题(如探索正多面体的个数)。

(4)探索非欧拉多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系。

3.理解曲面三角剖分的概念。

4.一些表面可以被三角化，并且它们的欧拉特征可以被计算。

5.理解拓扑变换的直观意义。

6.知道一些拓扑不变量，并利用它们对一些曲线和闭曲面进行分类，知道一些曲线和闭曲面的分类结果。

7.了解拓扑学思想的一些应用(如平面路由问题、一划问题、布劳威尔不动点定理和经济稳定点问题、四色问题)。

选择性3-5角三等分和数域展开

1.了解古希腊三大几何作图问题，通过角三等分问题理解其正确提法。在不局限于圆规和直尺的前提下，了解一下角三等分的几种不同做法。

2.理解解决角三等分问题的基本思路。3354描述标尺绘制的范围。

3.给定线段A、B，用直尺作图法求出线段的长度。

4.对于任意给定的已知线段，如果取其为单位长度，那么就可以画出任意(正)有理数(即只用圆规和直尺就可以做出有理数长线段)。

5.通过有理数对加、减、乘、除运算的闭包，理解有理数域和一般数域的概念。

6.让

11.用上述方法讨论“平方乘法问题”或“用圆规和直尺做正七边形是不可能的”。

12.体验古希腊解决三大绘图问题的思维方法及其在人们思维和认识中的作用。

13.理解复数乘法的迪莫夫公式，讨论用代数方法可以画出正七边形(即用直尺作图法可以画出正七边形)。

几何证明选修课4-1

1.复习相似三角形的定义和性质，理解平行切割定理，证明直角三角形的投影定理。

2.证明圆周角定理、圆的切线的判定定理和性质定理。

3.证明交弦定理，圆内接四边形的性质定理和判定定理，切割线定理。

4.理解平行投影的含义，通过圆柱体与平面的位置关系，体验平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况下是圆)。

5.通过观察平面截锥的情况，认识到以下定理：

定理在空间中，以一条直线为轴，该直线与O点相交，其夹角为。一个以O为顶点和母线的圆锥面可以通过绕转得到，可以取任意平面。若其与轴的交角为 (且平行，记住=0)，则：

(1) > ，平面与圆锥的交线为椭圆；

(2) =，平面与圆锥的交线为抛物线；

(3) <，平面与圆锥的交线为双曲线。

6.用丹德林双球(这两个球位于圆锥内部，一个在平面上方，一个在平面下方，与平面和圆锥都相切)证明上述定理(1)。

7.试证明以下结果：在6中，一个丹德林球面与一个圆锥面的交线是一个圆，且平行于圆锥面的底面。记住这个圆的平面是’；若平面与平面'的交点为M，在5(1)中的椭圆上取任意一点A，丹德林球面与平面的切点为F，则A点到F点的距离与A点到直线M的距离之比是小于1的常数E。(点F称为这个椭圆的焦点，直线M是椭圆的准线，常数E是偏心率。)

8.探索定理中(3)的证明，实现平面在无限接近时的极限结果。

选修4-2矩阵和变换

内容和要求

1.引入二阶矩阵

2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法以及平面图形的变换。

(1)用映射和变换的观点理解矩阵和向量相乘的意义。

（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明

（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

3. 变换的复合——二阶方阵的乘法

（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。

（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。

（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。

4. 逆矩阵与二阶行列式

（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。

（2）会证明逆矩阵的唯一性和 等简单性质，并了解其在变换中的意义。

（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。

5. 二阶矩阵与二元一次方程组

（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。

（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。

6. 变换的不变量

（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。

7. 矩阵的应用

（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出 简单的表示，并能用它来解决问题。

（2）初步了解三阶或高阶矩阵。

（3）了解矩阵的应用。

选修4－3 数列与差分

1. 数列的差分

（1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。

（2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象，了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。

2. 一阶线性差分方程

（1）通过一些具体实例，体会方程 是十分有用的数学模型。

（2）理解方程 中，当b＝0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k＝1（即差分为常数）时，其解为等差数列。

（3）认识方程 的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系；能给出方程 的通解公式。

3. （二元）一阶线性差分方程组

（1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。

（2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。

（3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。

（4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。

4. 通过具体实例（如种群增长等），体会方程 是十分有用的数学模型。借助计算工具，用迭代法分别对k取一些特殊值（如0＜k≤1，1＜k≤3，k＝3.4，k＝3.55，k＝3.7）的情形，讨论 的变化，初步了解非线性问题的复杂性。

5. 应用

（1）学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。

（2）初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。

选修4－4 坐标系与参数方程

1. 坐标系

（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。

（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

（5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。

2. 参数方程

（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。

（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。

（4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。

（5）通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。

选修4－5 不等式选讲

1. 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2. 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

（1） ；

（2） ；

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

3. 认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。

（1）证明：柯西不等式向量形式： 。

（2）证明： 。

（3）证明：

（通常称作平面三角不等式）。

4. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：

。

5. 用向量递归方法讨论排序不等式。

6. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

7. 会用数学归纳法证明贝努利不等式：

（ ，n为大于1的正整数）。

了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

8. 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

9. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

坐标向量相乘:向量A(X,Y)向量B(Z,K)求A乘B → AB=XZ+YK

选修4－6 初等数论初步

1.认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。

2. 理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。

3. 了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法。

4.探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a，b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。

5.理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。

6. 通过实例（如韩信点兵），理解一次同余方程组模型。

7. 理解大衍求一术和孙子定理的证明。

8. 理解费马小定理和欧拉定理及其证明。

费马小定理：当m是素数，a、m互素时， 。

欧拉定理：当a、m互素时， ，其中 是 中与m互素的数的个数。

9. 了解数论在密码中的应用——公开密钥。

选修4－7 优选法与试验设计初步

1.感受在现实生活中存在着大量的优选问题。

2.掌握分数法、0.618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。

3. 了解斐波那契数列｛ ｝，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道 和黄金分割的关系。

4.知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法。

5.了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法。

6.感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。

7.理解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。

选修4－8 统筹法与图论初步

1. 统筹方法

（1）通过实例了解统筹问题的思想及其应用的广泛性。

（2）通过实例理解统筹法中的基本概念。

（3）通过实例掌握绘制统筹图的方法。

（4）学会计算统筹图中的参数：事项最早开始时间和最迟到达时间，工序的时差。

（5）学会寻找统筹图的关键路，掌握寻找关键路的算法，理解关键路的重要性。

（6）会用统筹方法分析和处理简单的实际问题。

2. 图论初步

（1）了解图的基本概念和图在刻画实际问题中关系的作用。

（2）了解图的生成树，掌握求图的生成树和最小生成树的算法。

（3）了解图的最短路问题，掌握求图的最短路的算法。

（4）了解一些图论的其他问题，并知道算法的复杂性。

选修4－9 风险与决策

1. 从日常生活及经济活动中的实例分析，形成重视风险的意识、理解风险决策的必要性和重要性，理解风险决策的概念。

2.理解损益函数与损益矩阵，探索决策的途径与方法，理解决策结论的意义。

3. 学会用决策树表示需要决策问题的有关信息，能用反推决策树的方法进行决策。

4.理解风险决策灵敏度分析的意义，会进行决策的灵敏度分析。

5.了解马尔可夫型决策及其决策方法。

选修4－10 开关电路与布尔代数

1. 通过开关电路知道电路和电路的两种状态以及它们的数学表示。知道什么是两个电路的并联和串联，什么是逆反电路，以及它们的状态是怎样确定的。

2. 通过对开关电路的分析，认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的。掌握状态和状态的运算两个概念。

3. 通过状态和状态的运算，抽象出布尔代数、电路函数和电路多项式的概念。感悟从实际问题抽象、概括为数学问题的过程和用数学理论解决实际问题的思想方法。

4. 理解任意电路都可以用一个电路函数来表示，而电路函数又都可以用一个电路多项式实现。

5. 通过命题演算的学习，了解什么是命题和命题的取值。认识什么是两个命题的“或命题”和“且命题”，什么是一个命题的“非命题”（“否定命题”），这些新命题的取值是怎样确定的。

6. 比较开关电路与命题演算的关系，并能尝试用简单的例子说明。比较布尔代数与有理数系中的运算，考虑它们之间的共同点、不同点和相似之处。